Question

O dispositivo de Briott-Riffini e conhecimento de alguns produtos nótaveis podem ajudar a resolver rapidamente os limites do tipo 0
0

envolvendo funções racionais.Se um limite envolve a expressão dizemos que este limite possui uma indeterminação matemática e,para resolver o limite é preciso a indeterminação.
Com base nesse conhecimento podemos dizer que:
1) lim x → 3 x²-9
---------
x²-3x



2) lim u → -1 u² -6u -7
---------
u²-1

Answer 1

Olá!

Se o seu objetivo for resolver os limites, vamos a solução.

1)
lim x²-9 / x²-3x -> Substituindo o 3 no limite já sabemos que dará 0/0
x->3
-> Podemos simplificar x²-9 como uma diferença de quadrados e ao mesmo tempo, colocar o x do denominador em evidência. Daí:
lim x²-3² / x(x-3) 
x->3
-> Com o conceito de diferença de quadrados, vem:
lim (x+3)(x-3) / x(x-3) -> Simplificando o x-3:
x->3
lim x+3 / x -> Substituindo o valor de x:
x->3
lim 3+3 / 3 = 6/3 = 2
x->3             
Portanto: lim x²-9 / x²-3x = 2 <----
              x->3

b)
lim u²-6u-7 / u²-1 -> Substituindo o valor do limite dará 0/0
u->-1
-> Primeiramente, podemos perceber que no denominador temos uma diferença de quadrados e, da mesma forma, podemos simplificar como sendo: u²-1 = u²-1² = (u+1)(u-1). Daí:
lim u²-6u-7 / (u+1)(u-1)
u->-1
-> Pode parecer difícil de perceber mas podemos transformar o polinômio u²-6u-7 dividindo-o por (u+1) já que é o inverso do qual tende o limite (que no caso seria u-1).
Fazendo a divisão do polinômio pelo método da chave:
u²-6u-7  :  u+1
-u²-u         u-7
0-7u-7
  +7u+7 / 0

Portanto, podemos escrever o Polinômio P(x) como sendo:
P(x) = d.Q+R -> que seria:
u²-6u-7 = (u+1)(u-7) + 0 -> que não nos importa.
Daí, escrevendo no limite, vem:
lim (u+1)(u-7) / (u+1)(u-1) -> Simplificando o u+1, vem:
u->-1
lim u-7 / u-1 -> Substituindo o valor de u:
u->-1
lim -1-7 / -1-1 = -8/-2 = 4
u->-1
Portanto: lim u²-6u-7 / u²-1 = 4 <----
              u->-1

Espero realmente ter ajudado! :)