Question

O diretor de um departamento de uma empresa quer selecionar equipes formadas por 5 pessoas entre seus 12 empregados (que sao 5 homens e 7 mulheres). Quantas equipes ele podera formar se cada equipe deve conter pelo menos um homem e pelo menos uma mulher?

A) 770 B) 760 C) 750 D) 740 E) 730

Answer 1

Para que cada equipe contenha pelo menos um homem ou pelo menos uma mulher, basta pegar o total possível de combinações para combinar 12 pessoas em grupos de 5 pessoas e subtrair deste valor as combinações que sejam de um grupo com apenas homens ou apenas mulheres:

total de combinações possíveis- grupo só de homens- grupo só de mulheres

C12,5-C5,5-C7,5= 792-1-21= 770

Answer 2

Alternativa A: o diretor do departamento pode formar 770 equipes distintas.

Esta questão está relacionada com análise combinatória. Por meio da análise combinatória, é possível estudar e definir a quantidade de maneiras diferentes que um evento pode ocorrer. Dentre os métodos de análise combinatória, temos o arranjo, a permutação e a combinação, entre outros.

Nesse caso, veja que a formação das equipes independe da ordem de escolha. Por isso, vamos utilizar o conceito de combinação, por meio da seguinte equação:

$C_{n,k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Onde n é o número total de elementos e k é o número de elementos escolhidos.

A partir disso, veja que as equipes devem possuir pelo menos um homem e uma mulher. Logo, vamos calcular todas as equipes possíveis de serem formadas e descontar o número de grupos que só possuem homens e o número de grupos que só possuem mulheres. Portanto:

$Total=C_{12,5}-C_{7,5}-C_{5,5} \\ \\ \\ Total=\dfrac{12!}{5!7!}-\dfrac{7!}{5!2!}-\dfrac{5!}{5!0!}\\\\\\Total=792-21-1=770$

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