Question

O diâmetro de uma circunferência passa pelos pontos A(-3;4) e B(5;2). Determine a equação da circunferência de AB.

Answer 1

$\bullet\;\;$ A medida do diâmetro da circunferência é a distância entre os pontos $A$ e $B:$

(fórmula da distância entre dois pontos)

$d=\sqrt{(x_{_{B}}-x_{_{A}})^{2}+(y_{_{B}}-y_{_{A}})^{2}}\\ \\ d=\sqrt{(5-(-3))^{2}+(2-4)^{2}}\\ \\ d=\sqrt{(5+3)^{2}+(2-4)^{2}}\\ \\ d=\sqrt{8^{2}+(-2)^{2}}\\ \\ d=\sqrt{64+4}\\ \\ d=\sqrt{68}\\ \\ d=\sqrt{4\cdot 17}\\ \\ d=\sqrt{4}\cdot\sqrt{17}\\ \\ d=2\sqrt{17}$


$\bullet\;\;$ O raio da circunferência é a metade do diâmetro:

$r=\frac{d}{2}\\ \\ r=\frac{2\sqrt{17}}{2}\\ \\ r=\sqrt{17}$


$\bullet\;\;$ O centro $C$ da circunferência é o ponto médio entre $A$ e $B:$

(fórmula do ponto médio)

$C(x_{_{C}};\,y_{_{C}})\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{c} x_{_{C}}=\frac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2}\\ \\ y_{_{C}}=\frac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2} \end{array} \right.\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{c} x_{_{C}}=\frac{-3+5}{2}=1\\ \\ y_{_{C}}=\frac{4+2}{2}=3 \end{array} \right.$


O centro é o ponto $C(1,\;3).$


$\bullet\;\;$ A equação reduzida da circunferência que passa por $A$ e $B$ é dada por

$(x-x_{_{C}})^{2}+(y-y_{_{C}})^{2}=r^{2}\\ \\ (x-1)^{2}+(y-3)^{2}=(\sqrt{17})^{2}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} (x-1)^{2}+(y-3)^{2}=17 \end{array}}$