Matemática, perguntado por feliphesinistro7474, 8 meses atrás

O diâmetro de um círculo possui pontos extremos A(6, 0) e B(0, 6). Com base nisso, faça o que se pede:
Calcule a equação do círculo.
Verifique que passa pela origem.

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver todos os devidos cálculos, concluímos que a inequação reduzida do círculo é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \lambda: (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} \leq (3\sqrt{2})^{2}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Além disso, concluímos também que a origem do plano cartesiano está contido no círculo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf O \subset \lambda\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os extremos do diâmetro do círculo:

$\Large\begin{cases} A = (6, 0)\\B = (0, 6)\end{cases}$

Observe que a questão está se referindo à equação do círculo e não da circunferência. Pois, o círculo é toda superfície plana limitada por uma circunferência. Desta forma, o círculo possui área.

Então a inequação reduzida do círculo pode ser montada sobe a seguinte fórmula genérica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I}\:\:\:\:\:\:\:(x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} \leq r^{2}\end{gathered}$}$

Então, para resolver a questão, devemos:

Encontrar o centro do círculo.

Para isso, devemos calcular o ponto médio do diâmetro. Então, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}C & = (x_{C},\,y_{C})\\& = \left(\frac{x_{B} + x_{A}}{2},\,\frac{y_{B} + y_{A}}{2}\right)\\& = \left(\frac{0 + 6}{2},\,\frac{6 +0}{2}\right)\\& = \left(\frac{6}{2},\,\frac{6}{2}\right)\\& = (3,\,3)\end{aligned} $}$

Portanto, o centro do círculo é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} C = (3, 3)\end{gathered}$}$

Determinar o raio do círculo.

Para isso, devemos calcular a distância entre o centro "C" e o ponto "A". Então, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}r & = d(C,A)\\& = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}\\& = \sqrt{(x_{A} - x_{C})^{2} + (y_{A} - y_{C})^{2}}\\& = \sqrt{(6 - 3 )^{2} + (0 - 3)^{2}}\\& = \sqrt{3^{2} + (-3)^{2}}\\& = \sqrt{9 + 9}\\& = \sqrt{18}\\& = \sqrt{3^{2}\cdot2}\\& = 3\sqrt{2}\end{aligned} $}$

Portanto, o raio do círculo é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} r = 3\sqrt{2}\:u.\:c.\end{gathered}$}$

Montar a equação.

Substituindo os dados na equação "I", temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} & \leq (3\sqrt{2})^{2}\\\end{aligned} $}$

✅ Portanto, a inequação do círculo é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lambda: (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} \leq (3\sqrt{2})^{2}\end{gathered}$}$

Verificar se o círculo passa pela origem.

Para verificar isso, devemos ver se a inequação do círculo é verdadeira para as coordenadas da origem "O(0, 0)". Então, fazemos:

$\Large \text {$\begin{aligned}(0 - 3)^{2} + (0 - 3)^{2} & \leq (3\sqrt{2})^{2}\\(-3)^{2} + (-3)^{2} & \leq 18\\9 + 9 & \leq18\\18 & \leq 18\end{aligned} $}$