Question

O determinante da matriz quadrada X de ordem m é 5 e o determinante da matriz quadrada Y de mesma ordem é 2. Dessa forma, o determinante da matriz resultante do produto de X por Y será:Escolha uma:a. 7b. 2c.10d. 0e. 5

Answer 1

Suponha que as duas matrizes X e Y sejam de ordem 2 (para facilitar os cálculos):
$X = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] \\ \\ \\ Y = \left[\begin{array}{cc}e&f\\g&h\end{array}\right]$

Seus determinantes são:
$det(X) = ad - cb \\ \\ det(Y) = eh-gf$

A matriz XY é:
$XY = \left[\begin{array}{cc}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{array}\right]$

O determinante da matriz XY é:
$det(XY) = (ae+bg)(cf+dh) - (af+bh)(ce+dg) \\ det(XY) = [aecf+aedh+bgcf+bgdh] - [afce+afdg+bhce+bhdg] \\ det(XY) = aedh +bgcf - afdg - bhce$

Colocando os termos ad e bc em evidência:
$det(XY) = ad(eh - gf) + bc(gf - eh)$

Colocando o termo (eh - gf) em evidência:
$det(XY) = ad(eh - gf) + bc(gf - eh) = ad(eh - gf) - bc(eh-gf) \\ det(XY) = (ad - bc) \cdot (eh - gf) = det(X) \cdot det(Y)$

Portanto, o determinante de XY é o produto dos determinantes de cada matriz. Neste caso, é igual a 10.

Resposta: letra C