Question

O determinante da matriz é:

Answer 1

Para encontrar o determinante desta matriz (4x4) vamos aplicar o Teorema de Laplace, que sera explicado esta resolução no decorrer da resposta

Vamos precisar encontrar o cofator dos elementos, utilizando:

$C_{ij} = (-1)^{i+j} . D_{ij}$

Onde temos que:

• i = linha
• j = coluna
• Dij = Determinante

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Temos a matriz:

$\begin{bmatrix} 1&2&0&4 \\ 2&4&1&5 \\ -1&2&3&2 \\ 3&6&2&1 \end{bmatrix}$

Primeiro vamos escolher uma fila (linha ou coluna) qualquer, vamos somar os elementos e cada um será multiplicado pelos seu cofator

• Dica = escolha a fila que possua mais zeros, assim fica mais facil fazer a conta

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Vou escolher a primeira linha, multiplique os elementos pelos seus cofatores e some a todos:

$\small{1~.~C_{11} + 2~.~ C_{12} + 0~.~C_{13} + 4~.~C_{14}}$

Para encontrar o cofator, elimine a linha (i) e a coluna (j) do elemento, formando uma nova matriz 3x3

• Para encontrar o Determinante da nova matriz, utilizaremos a Regra de Sarrus: repita as duas colunas iniciais ao lado da matriz, multiplique a diagonal principal, depois multiplique a diagonal secundária, e por fim subtraia a diagonal principal da secundária

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C11:

$D_{11} = \begin{bmatrix} 4&1&5 \\ 2&3&2 \\ 6&2&1 \end{bmatrix}= \begin{vmatrix} 4&1&5 \\ 2&3&2 \\ 6&2&1 \end{vmatrix} \begin{matrix} 4&1 \\ 2&3 \\ 6&2 \end{matrix}$

$\small{D_1 = 4.3.1 + 1.2.6 + 5.2.2 = 12 + 12 + 20 = 44}$

$\small{D_2 = 5.3.6 + 4.2.2 + 1.2.1 = 90 + 16 + 2 = 108}$

$D_{11} = D_1 - D_2 = 44 - 108 =\red{-64}$

$\Rightarrow C_{ij} = (-1)^{i+j} \: . \: D_{ij}$

$\Rightarrow C_{11} = (-1)^{1+1}~.~D_{11}$

$\Rightarrow C_{11} = (-1)^2~.~ (-64)$

$\Rightarrow \boxed{C_{11} = 1~.~(- 64) = \red{- 64}}$

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C12:

$D_{12} = \begin{bmatrix} 2&1&5 \\ -1&3&2 \\ 3&2&1 \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} 2&1&5 \\ -1&3&2 \\ 3&2&1 \end{vmatrix} \begin{matrix} 2&1 \\ -1&3 \\ 3&2 \end{matrix}$

$\small{D_1 = 2.3.1 + 1.2.3 + 5.(-1).2 = 6 + 6 - 10 = 2}$

$\small{D_2 = 5.3.3 + 2.2.2 + 1.(-1).1 = 45 + 8 - 1 = 52}$

$D_{12} = D_1 - D_2 = 2 - 52 =\red{-50}$

$\Rightarrow C_{ij} = (-1)^{i+j} \: . \: D_{ij}$

$\Rightarrow C_{12} = (-1)^{1+2}~.~D_{12}$

$\Rightarrow C_{12} = (-1)^3~.~(-50)$

$\Rightarrow \boxed{C_{12} = - 1~.~(- 50) = \red{50}}$

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C13:

=> como este esta sendo multiplicado por 0, não precisamos calcular

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C14:

$D_{14} = \begin{bmatrix} 2&4&1 \\ -1&2&3 \\ 3&6&2 \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} 2&4&1 \\ -1&2&3 \\ 3&6&2 \end{vmatrix} \begin{matrix} 2&4 \\ -1&2 \\ 3&6 \end{matrix}$

$\small{D_1 = 2.2.2 + 4.3.3 + 1.(-1).6 = 8 + 36 - 6 = 38}$

$\small{D_2 = 1.2.3 + 2.3.6 + 4.(-1).2 = 6 + 36 - 8 = 34}$

$D_{14} = D_1 - D_2 = 38 - 34 =\red{4}$

$\Rightarrow C_{ij} = (-1)^{i+j} \: . \: D_{ij}$

$\Rightarrow C_{14} = (-1)^{1+4}~.~D_{14}$

$\Rightarrow C_{14} = (-1)^5~.~(4)$

$\Rightarrow \boxed{C_{14} = - 1~.~(4) = \red{-4}}$

• Agora que encontramos os cofatores, vamos substituir:

$\small{Det = 1~.~C_{11} + 2~.~C_{12} + 0~.~C_{13} + 4~.~C_{14}}$

$\small{Det = 1~.~(-64) + 2~.~(50) + 0~.~C_{13} + 4~.~(-4)}$

$Det = - 64 + 100 + 0 - 16$

$\red{Det = 20}$

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O determinante é 20 => Letra (D)

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