Question

O determinante da matriz abaixo é igual a:

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes.

Devemos calcular o seguinte determinante:

$\begin{vmatrix}3&0&0&1\\1&6&0&2\\2&5&0&5\\4&-1&0&8\\\end{vmatrix}$

Pelas propriedades de matrizes, quando uma de suas filas é nula, isto é, todos os elementos de uma linha ou coluna são iguais a zero, o determinante da matriz é igual a zero.

Isto pode ser constatado de diversas maneiras. Utilizaremos o Teorema de Laplace para demonstrá-lo.

Primeiro, lembre-se que o determinante de uma matriz $A$ de ordem $n\times n$ de entradas reais $a_{ij}$, em que $i$ é o número da linha e $j$ é o número da coluna onde este elemento se encontra, pode ser calculado pelo somatório: $\det(A)=\displaystyle{\sum_{i,\,j\leq n} \widetilde{A_{ij}}$, onde $\widetilde{A_{ij}}=a_{ij}\cdot(-1)^{i+j}\cdot \det(\widetilde{a_{ij}})$ é o cofator do elemento $a_{ij}$ e $\widetilde{a_{ij}}$ é a menor da matriz, calculada deletando-se a linha $i$ e coluna $j$ deste elemento.

Seja $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{bmatrix}$

Como exemplo, escolhendo a coluna $1$ desta matriz para o cálculo do determinante, teremos:

$\det(A)=\displaystyle{\sum_{i\leq n} \widetilde{A_{i1}}}\\\\\\ \det(A)=a_{11}\cdot \begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}\\\end{vmatrix}-a_{21}\cdot \begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}\\\end{vmatrix}+\cdots$

$\cdots + a_{n1}\cdot(-1)^{n+1}\cdot\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{(n-1)2}&a_{(n-1)3}&\cdots&a_{(n-1)n}\\\end{vmatrix}$

Observe que ao escolhermos uma linha cujos elementos são nulos, ou seja, $a_{11}=a_{21}=\cdots=a_{n1}=0$, os produtos entre os elementos e as matrizes menores é nulo e, portanto, o determinante da matriz é igual a zero, como se queria demonstrar.