Question

O determinante da matriz A é igual a:
( )30
( )31
( )29
( )28
( )37

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Vou fazer de duas maneiras, na verdade vou tentar ;b

A primeira será pelo método de Sarrus e o a segunda será através do Teorema de Laplace.

I) Através de Sarrus:

Para calcular por esse método você deve repetir as duas primeiras colunas da matriz e usá-la como se fosse parte de uma matriz só. Após isso lembre que Determinante é Diagonal Principal menos Diagonal Secundária.

$\begin{bmatrix}2&3& - 1 \\ 1&2&3 \\ 2& - 2&1\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}2&3 \\ 1&2 \\ 2& - 2\end{bmatrix} \\ \\ D = 2.2.1 + 3.3.2 + ( - 1).1. ( - 2) - (2.2.( - 1) + ( - 2).3.2 +1.1.3) \\ D = 4 + 18 + 2 - ( - 4 - 12 + 3) \\ D = 24 - ( - 13) \\ D = 24 + 13 \\ D = 37$

Podemos marcar então a letra e)

Resposta: letra e).

II) Através de Laplace:

Devemos escolher uma fila, ou seja, uma linha ou uma coluna. É recomendável você escolher a que possua os menores valores, sabendo disso vamos escolher a terceira coluna, depois disso você deve somar os produtos de todos os elementos da coluna pelo seu cofator.

$\begin{bmatrix}2&3& \boxed{\red{ - 1}} \\ 1&2& \boxed{\red 3} \\ 2& - 2& \boxed{ \red 1}\end{bmatrix}$

Lembrando que Cofator é:

$\boxed{C_{ij} = ( - 1) {}^{i + j} .D_{ij}}$

Vamos fazer o que a orientação nos disse pra fazer ↑.

$- 1.C_{13} + 3.C_{23} + 1.C_{33}$

I) Cofator 13:

$C_{13} = ( - 1) {}^{1 + 3} .D_{13} \\C_{13} = ( - 1) {}^{4} .D _{13} \\ C_{13} = 1.D _{13}$

Dentro do Cofator temos o menor complementar (D) que é calculado através da eliminação da linha e coluna que ele se encontra, o que gera outro DETERMINANTE menor.

$\begin{bmatrix} \cancel2& \cancel3& \cancel- 1 \\ 1&2& \cancel3 \\ 2& - 2& \cancel1\end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix}1&2 \\ 2& - 2\end{bmatrix} \rightarrow 1.( - 2) - 2.2 = \boxed{- 6}$

Então temos que:

$\boxed{C_{13} = - 6}$

II) Cofator 23:

Vamos realizar do mesmo jeito do anterior.

$C_{23} = ( - 1) {}^{2 + 3} .D_{23} \\C_{23} = ( - 1) {}^{5} .D _{23} \\ C_{23} = - 1.D _{23}$

Calculando o menor complementar:

$\begin{bmatrix}2&3& \cancel - 1 \\ \cancel 1& \cancel2& \cancel3 \\ 2& - 2& \cancel1\end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix}2&3 \\ 2& - 2 \end{bmatrix} \rightarrow 2.( - 2) - 2.3 = \boxed{ - 10}$

Então temos:

$C_{23} = - ( - 10) \\ \boxed{C_{23} = 10}$

III) Cofator 33:

$C_{33} = ( - 1) {}^{3 + 3} .D_{33} \\C_{33} = ( - 1) {}^{6} .D _{33} \\ C_{33} = 1.D _{33}$

Menor complementar:

$\begin{bmatrix}2&3& \cancel - 1 \\ 1&2& \cancel3 \\ \cancel 2& \cancel - 2& \cancel1\end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix}2&3 \\ 1&2\end{bmatrix} \rightarrow 2.2 - 1.3 = \boxed{ 1}$

Então:

$\boxed{C_{33} = 1}$

Agora para finalizar vamos substituir esses valores na expressãozinha dos cofatores.

$- 1.C_{13} + 3.C_{23} + 1.C_{33} \\ - 1.( - 6) + 3.10 + 1.1 \\ 6 + 30 + 1 \\ \boxed{37} \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️