Question

O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x^2-100 5000. Calcule o valor do custo mínimo

Answer 1

Faltava o sinal do 5.000. Vamos lá:

C(x) = $2 x^{2} - 100x + 5.000$ ⇒ C(x) = 0 ⇔ $2 x^{2} - 100x + 5.000 = 0$ ⇔ $x^{2} - 50x + 2500 = 0$

Note que Δ < 0. Assim não dá para analisar o mínimo pelas raízes. 

Outra opção é usar a derivada primeira:

C '(x) = 4x - 100 ⇒ C '(x) = 0 ⇔ x = 25

Assim, o ponto de mínimo se dá em x = 25. Basta agora calcular f(25).

Outra forma, usando a fórmula do Vértice da Parábola, que é esta maneira que você citou no comentário: 

 V =( $\frac{-b}{2a}$ , - Δ/4a)

Note que a coordenada y do vértice ( - Δ/4a) é o valor que a função atinge no vértice (que é ponto de mínimo, pois esta função tem como gráfico uma parábola com a concavidade para cima).

Assim, em x = $\frac{-b}{2a}$ a função atingirá o seu mínimo. 

Então, em x = -(-100) ÷ 2 · 2 = 25
a função atingirá o seu mínimo.

Basta calcular o valor dela em 25, ou seja, f(25), que é o mesmo que calcular a coordenada y do vértice acima. Veja os 2 modos:

Primeiro Modo:

f(25)  = 2 · (25)² - 100 · 25 + 5.000 = 2 · 625 - 2.500 + 5000 =
= 1.250 - 2.500 + 5.000 = 3.750.

Segundo  Modo:
- Δ ÷ 4a = - (- 30.000) ÷ 4 · 2  = 30.000 ÷ 8 = 3.750.

Portanto, o valor do custo mínimo é R$ 3.750