Question

O custo de produção de dois itens é dado pela função.

​Sendo C(x,y) o custo em R$, x e y as quantidades (em unidades) de cada item. Determine os valores de x e y que minimizam a função custo, calcule o custo mínimo e assinale a alternativa correta, utilizando arredondamento matemático para os valores de x e y, considerando o próximo número inteiro.

Alternativa 1:
x = 4, y = 10 e C = R$1292,00.

Alternativa 2:
x = 5, y = 5 e C = R$1350,00.

Alternativa 3:
x = 10, y = 4 e C = R$1436,00.

Alternativa 4:
x = 2, y = 15 e C = R$1273,00.

Alternativa 5:
x = 15, y = 2 e C = R$1548,00.

Answer 1

Olá!

Para encontrarmos o minimo da função devemos primeiramente encontrar o gradiente da função, ou seja, deriva-la parcialmente em relação a x e y:

$\frac{\partial C}{\partial x} = 4x - 20 + y$

$\frac{\partial C}{\partial y} = 2y - 30 + x$

Assim, o gradiente da função é (4x - 20 + y; 2y - 30 + x). Agora, vamos iguala-lo a zero (0, 0):

• 4x - 20 + y = 0
• y = 20 - 4x

• 2y - 30 + x = 0
• y = $\frac{30 - x}{2}$

Agora substituindo uma na outra encontramos:

$\frac{30 - x}{2}$ = 20 - 4x

30 - x = 40 - 8x

7x = 10 ⇒ x = $\frac{10}{7}$ ∴ y = $\frac{100}{7}$

Se aplicarmos esses valores na equação, encontramos que C = R$ 1271,42.

Vemos que o resultado mais próximo dos mínimos e o custo encontrado é o descrito na Alternativa 4, x = 2, y = 15 e C = R$ 1273,00.

Logo, a mesma está correta.

Espero ter ajudado!