Question

O custo c de produção de uma peça em função do número n de produtos é dado pela fórmula

C(n) = $\frac{1}{1 + n^{2} }$

A função inversa desta fórmula é:

resposta: n = $\sqrt{ \frac{1-c}{c} }$

gostaria de entender a resolução

Answer 1

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O custo  C  em função da quantidade  n  de produtos é dado por
 
     $\mathsf{C=\dfrac{1}{1+n^2}\qquad\quad n\ge 0}$


Encontrar a função inversa nesse caso seria expressar a quantidade  n  em função do custo  C, isto é,  resolver a equação acima para  n.


Multiplique os dois lados por  1 + n²:

     $\mathsf{(1+n^2)\cdot C=(1+n^2)\cdot \dfrac{1}{1+n^2}}\\\\\\ \mathsf{(1+n^2)\cdot C=1}$


Expanda o produto do lado esquerdo para eliminar os parênteses:

$\mathsf{C+n^2\cdot C=1}\\\\ \mathsf{n^2\cdot C=1-C}$


Assumindo  C ≠ 0,  divida os dois lados por  C:

     $\mathsf{n^2=\dfrac{1-C}{C}}$


Por último, tire a raiz quadrada dos dois lados. A princípio, a expressão ficaria com um  ±  no lado direito, pois haveria duas possibilidades para a expressão de  n:
 
     $\mathsf{n=\pm\,\sqrt{\dfrac{1-C}{C}}}\\\\\\ \mathsf{n=\sqrt{\dfrac{1-C}{C}}~~~ou~~~n=-\,\sqrt{\dfrac{1-C}{C}}}$


Porém a quantidade  n  não pode ser um número negativo. Então, descartamos a segunda expressão, obtendo assim

     $\mathsf{n=\sqrt{\dfrac{1-C}{C}}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)