o contradomínio da função f(x)= (sinx + cosx)²
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Vou usar um pouco dos conhecimentos de matemática que a gente aprende no ensino superior para responder essa questão, que são as derivadas.
No estudo das funções a gente aprende que algumas funções são limitadas, isso quer dizer que elas possuem um valor máximo, mínimo ou ambos, as funções seno e cosseno sao limitadas.
Uma das principais utilidades das derivadas é, através delas, determinar esses valores que limitam uma função, tanto por cima quanto por baixo.
Para encontrarmos esse valores da função
f(x) = (sinx + cosx)²
Primeiro vamos precisar derivar essa função e encontrar as raízes da nova função.
Derivando f
f'(x) = 2×(sinx + cosx) × (cosx - sinx)
Essa é a derivada da função f
Agora vamos organiza-la para depois encontrar-mos as raízes.
f'(x) = 2.sinx.cosx - 2.sin²x + 2.cos²x - 2.cosx.sinx
O primeiro e último termo se anulam, ficando
f'(x) = 2×(cos²x - sen²x)
Pronto, agora que temos a função f' simplificada, vamos determinar as raízes, para isso vamos iguala-lá a 0.
2×(cos²x - sin²x) = 0 ×1/2
cos²x - sin²x = 0
cos²x = sin²x
Elevando os dois lados a 1/2
cosx = sinx
Essa condição é válida quando x = π/4 + 2nπ, n ∈ N.
A raiz da derivada de uma função, no caso, de f', esse valor é chamado de ponto crítico da função, existe uma possibilidade desse ponto ser um ponto de máximo ou de mínimo da função
f(x) = (sinx + cosx)²
Para confirmar-mos que tipo de ponto é esse vamos precisar derivar mais uma vez e substituir esse valor na função, se o resultado for negativo, então esse ponto será de máximo, caso contrário será de mínimo, eu vou pular essa parte porque da muito trabalho e já vou dizer que x = π/4 é um ponto de máximo da função.
Com o ponto de máximo em mãos, vamos substitui-lo na função f para encontrar-mos o valor máximo, esse valor vai ser útil pra determinar-mos o contradomínio.
f(π/4) = [sin(π/4) + cos(π/4)]² = [√2/2 + √2/2]² = √2² = 2
Então 2 é o valor máximo que a função atinge, como f está elevado ao quadrado significa que ela não assumi valores negativos, então o valor mínimo é 0.
Agora vamos lembrar de alguns detalhes das funções seno e cosseno.
- Elas são limitadas, ou seja, elas possuem um valor máximo e mínimo.
- Elas são periódicas, ou seja, elas repetem o seu comportamento depois um certo período e continuam se repetindo indefinidamente.
- Como elas são limitadas e periódicas, elas se repetem indefinidamente sempre dentro de um intervalo onde seus extremos são os pontos de máximo e mínimo da função.
Agora, por que a gente fez tudo isso. O contradomínio é o conjunto formado por todos os valores que a função assume quando a variável x assume os valores do domínio da função. Como a funcao f só assumi valores dentro do intervalo de 0 a 2 logo o contradominio B da função será
B = {y = f(x) : 0 ≤ y ≤ 2}
Pronto !!!
Enrolei muito, acredito que deve ter formar mas simples de fazer isso, mas se tiver qualquer dúvida é só mandar nos comentários. Espero ter ajudado.