Question

O conjunto verdade em R da equação x² - 100 = 0 é: A) - 10 B) 10 C) +10; - 10 D) 10; -1

Answer 1

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

A RESOLUÇÃO SERÁ APRESENTADA DE DUAS FORMAS:

• 1ª FORMA (Mais simples): Sem o cálculo do discriminante (Δ) e da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva da equação do segundo grau), por se tratar de uma equação incompleta (uma equação completa do 2º grau é uma igualdade do tipo ax²+bx+c=0 e, ao analisar esta questão, verifica-se que não há o termo +bx):

x² - 100 = 0 ⇒

x² = 100 ⇒

x = √100 ⇒           (Ao fatorar-se 100, tem-se 10² (10.10=100).)

x = √10² ⇒

x = +10                  (Porque √(10)² = √(10)(10) = √100 = 10.)

ou

x = -10                  (Porque √(-10)² = √(-10)(-10) = √100 = 10.)

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• 2ª FORMA (Mais complexa): Calculando o discriminante e aplicando a Fórmula de Bhaskara:

(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:

1.x²          - 100 = 0               (Veja a Observação 1.)

a.x² + b.x  + c  = 0

Coeficientes: a = 1, b = 0, c = (-100)

OBSERVAÇÃO 1: Quando o coeficiente for 1, ele pode ser omitido, pois está subentendido. Assim, em vez de 1.x², no termo ax², tem-se apenas x².

(II)Cálculo do discriminante (Δ), que é o valor que diz o número de raízes e se elas estão no conjunto dos números reais ou no dos complexos, utilizando-se dos coeficientes:

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (0)² - 4 . (1) . (-100) ⇒

Δ = 0 - 4 . 1 . (-100) ⇒          

Δ = -4 . (-100) ⇒                 (Veja a Observação 2 abaixo.)

Δ = 400

OBSERVAÇÃO 2: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).

→Como o discriminante (Δ) resultou em um valor maior que zero, a equação x²-100=0 terá duas raízes diferentes e pertencentes ao conjuntos dos números reais.

(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara, utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:

x = (-b ± √Δ) / 2 . a ⇒

x = (-(0) ± √400) / 2 . (1) ⇒

x = (± √400) / 2 ⇒      

x' = +20/2 ⇒ x' = 10

x'' = -20/2 ⇒ x'' = -10

RESPOSTA: Os valores de x (raízes) são -10 e 10.  (ALTERNATIVA C)

Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:

• V={x E R / x = -10 ou x = 10} (Leia-se "o conjunto verdade é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a menos dez ou x é igual a dez") ou

• V={-10, 10} (Leia-se "o conjunto verdade é constituído pelos elementos menos dez e dez".)

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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo x = -10 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

1.x² - 100 = 0 ⇒

1 . (-10)² - 100 = 0 ⇒

1 . (-10)(-10) - 100 = 0 ⇒         (Reveja a Observação 2.)

1 . 100 - 100 = 0 ⇒

100 - 100 = 0 ⇒  

0 = 0               (Provado que x = -10 é solução (raiz) da equação.)

→Substituindo x = 10 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

1.x² - 100 = 0 ⇒

1 . (10)² - 100 = 0 ⇒

1 . (10)(10) - 100 = 0 ⇒         (Reveja a Observação 2.)

1 . 100 - 100 = 0 ⇒

100 - 100 = 0 ⇒  

0 = 0               (Provado que x = 10 é solução (raiz) da equação.)

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