Question

O conjunto verdade da equação $log2(x+4) +1 = log2(x-1) + log2(x-2)$ é:

Answer 1

Resposta:

a solução é x=6

Explicação passo-a-passo:

log2(x - 4) + 1 = log2(x - 1) + log2(x - 2)

(x + 4) × 2 = (x - 1) (x - 2)

x = 6, x = -1

x= 6

Answer 2

Vamos lá!

Já que todos os logs estão na base 2, podemos executar a seguinte propriedade:

$\Large\text{ {Log_{b}\:a + Log_{b}\:c = Log_{b} (a\:.\:c)} }$

Aplicando e resolvendo:

$\Large\text{ {Log_{2}\:(x+4) + 1 = Log_{2}\:(x - 1) + Log_{2}\:(x - 2)} }$

$\Large\text{ {Log_{2}\:(x+4) + Log_{2}\:2 = Log_{2}\:(x - 1) + Log_{2}\:(x - 2)} }$

$\Large\text{ {Log_{2}\:2.(x+4) = Log_{2}\:(x - 1).(x-2) } }$

$\Large\text{ {Log_{2}\:2x+8 = Log_{2}\:x^{2} - 2x - x + 2} }$   Ignore os logs

$\Large\text{ {2x + 8 = x^{2} - 3x + 2} }$

$\Large\text{ {x^{2} -3x - 2x + 2 - 8=0} }$

$\Large\text{ {x^{2} - 5x - 6 = 0} }$     Resolverei por Soma e Produto.

$\Large\text{ {Soma = \frac{-b}{a} } }$

$\Large\text{ {Produto = \frac{c}{a} } }$

$\Large\text{ {Soma = \frac{-(-5)}{1} } }$

$\Large\text{ {Produto = \frac{-6}{1} } }$

$\Large{Soma = 5}$

$\Large{Produto = -6}$

Arriscamos como soluções os números -1 e 6.

$\Large{Soma = 5}\\\\\Large{Produto = -6}$

$\Large{x'+x" = 5}\\\\\Large{x'\:.\:x" = -6}$

$\Large{6 - 1 = 5\:\: > > Soma\:verdadeira.}\\\\\Large{6\:.\:(-1) = -6\:\: > > Produto\:verdadeiro.}$

Agora devemos conferir se as duas soluções condizem com os requisitos de existência do log:

Solução -1:

$\Large\text{ {Log_{2}\:(x+4) + 1 = Log_{2}\:(x - 1) + Log_{2}\:(x - 2)} }$

$\Large\text{ {Log_{2}\:(-1+4) + 1 = Log_{2}\:(-1 - 1) + Log_{2}\:(-1 - 2)} }$

$\Large\text{ {Log_{2}\:(3) + 1 = Log_{2}\:(-2)+ Log_{2}\:(-3)} }$

Como para a solução -1, o logaritmando de alguns logs ficou negativo, então -1 não pode ser solução.

Solução 6:

$\Large\text{ {Log_{2}\:(x+4) + 1 = Log_{2}\:(x - 1) + Log_{2}\:(x - 2)} }$

$\Large\text{ {Log_{2}\:(6+4) + 1 = Log_{2}\:(6 - 1) + Log_{2}\:(6 - 2)} }$

$\Large\text{ {Log_{2}\:(10) + 1 = Log_{2}\:(5) + Log_{2}\:(4)} }$

Já para a solução 6, o logaritmando dos logs não ficou negativo, então contamos 6 como solução.

Então, conforme resolvido acima, obtemos como conjunto solução para essa equação a seguir:

$\Large{\checkmark}\Large\text{\boxed{\boxed{ {S = [6]} }}}\Large{\checkmark}$

Bons estudos.

Espero ter ajudado❤.