Question

O conjunto solução (S) para a inequação 2·cos2x + cos(2x) > 2,
em que 0 < x < π, é dado por:

Answer 1

Usarei a formula de arco duplo: cos(2x) = cos²(x)– sen²(x) e também usarei a equação fundamental: sen²(x) + cos²(x) = 1, eu já vou isolar o sen²(x) porque vou precisar substituir depois na formula de ardo duplo, então ficará sen²(x) = 1 - cos²(x);

Agora vamos a equação e determinar que cos é esse:

2*cos²(x) + cos(2x) > 2 => 2*cos²(x) + cos²(x) - sen²(x) > 2 => 2*cos²(x) + cos²(x)-(1-cos²(x)) => 2*cos²(x)+cos²(x)-1-cos²(x) > 2 => 4*cos²(x) > 2+1 => 4*cos²(x) > 3 => cos²(x) > 3/4 => cos(x) > $\sqrt{\frac{3}{4}}$

cos(x) = $\sqrt{\frac{3}{4}}$ ou cos(x) = $-\sqrt{\frac{3}{4}}$

Que cos é esse? sabemos que $\sqrt{\frac{3}{4}}$ é cos de 30º!

Logo o conjunto solução na inequação que se pede  0 < x < π é:

S = { x E R | 0 < x <  π/6 ou 5π/6 < x < π }

de 0 a 30º ou de 150º a 180º, basta você desenha isso, porque cos 150º = $-\sqrt{ \frac{3}{2} }$ e cos 30º é $\sqrt{ \frac{3}{2} }$

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