Question

O conjunto solução para a equação logarítmica é
㏒²(x-1)=㏒1/2(x+1)

a) {√2,-√2}
b) {√2}
c) {-√2}
d) {√2,1}

Answer 1

A resposta a seguir considera que as bases nos logaritmos sejam, respectivamente, 2 e 1/2

Mudar a base de ㏒1/2(x+1) de 1/2 para 2

㏒₂(x+1)        

--------  =  

㏒₂1/2

 ㏒₂(x+1)        

= --------  

   -1

= -㏒₂(x+1)

Substituir na equação

㏒₂(x-1) = -㏒₂(x+1)

㏒₂(x-1) + ㏒₂(x+1) = 0

Propriedade logaritmo do produto

㏒₂(x-1).(x+1) = 0

Definição de log

(x-1).(x+1) = 2⁰

x² - 1 = 1

x² = 2

x = ±√2

A raiz  -√2 não serve, pois, em ㏒²(x-1), não atende às condições de existencia do logaritmo.

Resposta: B

Answer 2

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado a solução para a equação logarítmica é: $\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S = \{ \sqrt{2} \} } }$ e que corresponde alternativa correta a letra B.

Dados os números  reais positivos $\boldsymbol{ \textstyle \sf a }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf b }$, com $\boldsymbol{ \textstyle \sf a \neq 1 }$,se $\boldsymbol{ \textstyle \sf b = a^c }$, então o expoente $\boldsymbol{ \textstyle \sf c }$ chama-se logaritmo de $\boldsymbol{ \textstyle \sf b }$ na base $\boldsymbol{ \textstyle \sf a }$, ou seja:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log_a \: b = c \Leftrightarrow a^c, ~com ~ a ~e~ b ~ positivos ~e ~ a \neq 1 }$

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ c | c } \sf Forma ~logar\acute{\sf i}mica & \sf Forma ~exponencial \\\sf \log_a\:b = c \begin{cases} \sf c: logaritmo \\ \sf a: base ~ do ~ logaritmo \\\sf b: logaritmando\end{cases} & \sf a^c = b \begin{cases} \sf b: pot\hat{\sf e}ncia \\ \sf a: base ~ da ~ pot\hat{\sf e}ncia \\\sf c: expoente \end{cases} \end{array} } } }$

Condições de existência de logaritmos:

$\boldsymbol{ \textstyle \sf \log_a\: b }$ existe quando e somente quando:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf b > 0 \\\sf a > 0 \\ \sf a\neq 1 \end{cases} } }$

Consequências de da definição  de logaritmo:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf \log_a \: 1 = 0, pois, a^0 = 1\\\sf \log_a\:a = 1, pois, a^1 = a \\\sf \log_a\: a^n = n, pois, a^n = a^n \\\sf a^{\log_a \: N} = N, sendo ~N = x \Rightarrow a^x = N\\\sf \log_a\: x = \log_a\: y \Rightarrow x = y \end{cases} } }$

Propriedade operatórias logaritmos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf \log_a\: (b \cdot c) = \log_a\: b + \log_a \: c \\ \\\sf \log_a \: \dfrac{b}{c} = \log_a\: b - \log_a \: c\\ \\\sf \log_a\: b^c = c \cdot \log_a\: b \end{cases} } }$

Mudança de base:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \log_a\: b = \dfrac{\log_c\; b}{\log_c \: a} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\log_2\: (x-1) = \log_{1/2} \: (x+1) } }$

Condição existência neste caso:

$\Large \displaystyle \mathsf{ x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 }$

Devemos fazer a mudançca de base:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\log_{1/2} \: (x+1) = \dfrac{ \log_2 \; (x+1)}{\log_2 \: 1/2} = \dfrac{ \log_2 \; (x+1)}{\log_2 \:2^{-1}} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\log_{1/2} \: (x+1) = \dfrac{ \log_2 \; (x+1)}{\log_2 \:2^{-1}} =\dfrac{ \log_2 \; (x+1)}{ -\:1 \cdot \log_2 \:2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\log_{1/2} \: (x+1) = \dfrac{ \log_2 \; (x+1)}{ -\:1 \cdot 1} = -\: \log_2 \: (x+1) } }$

Resolvendo temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\log_2\: (x-1) = \log_{1/2} \: (x+1) } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{\log_2\: (x-1) = - \log_2\: (x+1) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{\log_2\: (x-1) + \log_2\: (x+1) = 0 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \diagup\!\!\!{ \log_2} \: (x-1) \cdot (x+1) = \diagup\!\!\!{\log_2} \: 1 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (x-1) \cdot (x+1) = 1 }$

Aplicando o produto da soma pela diferença de dois termos, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x^{2} - 1 = 1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} = 1 + 1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \pm \sqrt{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_1 = \sqrt{2} \quad \gets serve ~ \acute{\sf e} ~ positivo } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_2 = -\;\sqrt{2} \quad \gets n\tilde{\sf a}o ~ serve ~ \acute{\sf e} ~ negativo } }$

Como a condição de existe é $\boldsymbol{ \textstyle \sf x > 1 }$, então $\boldsymbol{ \textstyle \sf \sqrt{2} \in S ~ e ~ -\:\sqrt{2} \not \in S }$.

Logo, $\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S = \{ \sqrt{2} \} } }$.

Alternativa correta é a letra B.

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