Question

O conjunto solução do sistema linear seguinte é *

a) S = {1, 2, 3}

b) S = {2, 2, 3}

c) S = {2, 2, 2}

d) S = {3, 3, 3}

e) S = {1, 3, 1}

Answer 1

Resposta:

a) S = {1, 2, 3}

Explicação passo-a-passo:

{x + 3y + 5z = 22

2x – 4y + 4z = 6

3x + 2y – 3z = -2

Primeiro, dividimos os membros da equação do meio por 2:

{x + 3y + 5z = 22

x – 2y + 2z = 3

3x + 2y – 3z = -2

Então, dividimos esse sistema em dois outros sistemas, cada um com duas equações – a do meio presente em ambas:

{x + 3y + 5z = 22

{x + 3y + 5z = 22 x – 2y + 2z = 3

{x + 3y + 5z = 22 x – 2y + 2z = 3{x – 2y + 2z = 3

{x + 3y + 5z = 22 x – 2y + 2z = 3{x – 2y + 2z = 33x + 2y – 3z = -2

Trabalhando com a primeira equação, multiplicamos os membros de cima por 2 e os de baixo por 3:

{2x + 6y + 10z = 44

{2x + 6y + 10z = 443x – 6y + 6z = 9

Somamos as equações, tendo:

5x + 16z = 53

(perceba que as variáveis de y se anularam)

Trabalhando com a segunda equação, juntamos a de cima com a de baixo:

x – 2y + 2z + 3x + 2y – 3z = 3 – 2

Então, colocamos os similares em evidência, somando os demais e eliminando os que se anulam:

x + 3x + 2z – 3z = 3 – 2

4x – z = 1

(perceba que as variáveis de y se anularam)

Então, juntamos as duas equações novamente, montando um novo sistema:

{5x + 16z = 53

{5x + 16z = 53 4x – z = 1

Trabalhando com esse sistema, multiplicamos os membros da equação de baixo por 16:

{5x + 16z = 53

64x – 16z = 16

Somamos as equações, tendo:

69x = 69

(perceba que as variáveis de z se anularam)

Temos, então, que: x = 1

Substituindo o valor de x na equação 4x – z = 1, temos que:

4 × 1 – z = 1

Assim, temos que z = 3

Substituindo o valor de x e z na equação x – 2y + 2z = 3, temos:

1 – 2y + 2 × 3 = 3

1 – 2y + 6 = 3

1 + 6 – 2y = 3

7 – 2y = 3

Passamos o 7 para depois do sinal de igual:

- 2y = 3 – 7

- 2y = – 4

Dividimos todos por – 2, tendo:

y = 2

A solução do problema é o triplo ordenado: (x, y, z):

(x, y, z) = (1, 2, 3)