Question

O conjunto solução da inequação x2 – 2x – 10 ≥ -2 é:

Answer 1

x^2 - 2x - 10 + 2 >= 0
x^2 - 2x - 8 >= 0 (a = 1; b = -2 e c = -8)

delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4•1•(-8)
delta = 4 + 32 = 36 => V36 = 6

x = (-b +/- Vdelta)/2a
x = (-(-2) +/- 6)/2•1
x = (2 +/- 6)/2

x’ = (2 - 6)/2 = -4/2 = -2
x’’ = (2 + 6)/2 = 8/2 = 4

Como a > 0 a concavidade da parábola está voltada para cima, então o conjunto solução da inequação é:

S = {x E |R/ x =< -2 ou x >= 4}

Os valores de x entre -2 e 4 tornam f(x) < 0 e x = -2 e x = 4 tornam f(x) = 0.

Answer 2

Resposta:

S = {x ∈ |R | ( - ∞ ; - 2 ]  ou  [ 4 ; + ∞ ) }

Explicação passo a passo:

x² – 2x – 10 ≥ -2

1º  Passar todos os termos para 1º membro

x² – 2x – 10 + 2 ≥ 0

x² – 2x – 8 ≥ 0

f(x) = x² – 2x – 8    é uma função do 2º grau    

a =   1

b = - 2

c = - 8

Porque a = 1 , a > 0 o gráfico desta função é representada por uma

parábola com concavidade virada para cima, em forma de U.

2º Calcular os zeros ( ou raízes ) da função usando Fórmula de Bhaskara

$x_{1} = \dfrac{-b+\sqrt{delta} }{2*a}$     ou       $x_{2} = \dfrac{-b-\sqrt{delta} }{2*a}$  

Δ = delta = b² - 4 * a* c

Δ = ( - 2 )² - 4 * 1 * ( - 8 ) = 4 + 32 = 36

√Δ = √36 = 6

$x_{1} = \dfrac{-(-2)+6 }{2*1}=\dfrac{2+6}{2} =\dfrac{8}{2} =4$  

$x_{2} = \dfrac{-(-2)-6 }{2*1}=\dfrac{+2-6}{2}=\dfrac{-4}{2} =-2$

Então a parábola vai cruzar o eixo do x em - 2 e 4

3º Esboço do gráfico

Aqui tem um esboço. O gráfico vem em anexo.    

Y eixo do Y

↑

|

|

|º                                          º

|   º                                     º

|       º                             º

|----------x-------------------x------------------------------ eixo do X

|        - 2   º             º        4

|                        º

|

O que se pretende é que a função f(x) = x² – 2x – 8   seja ≥ 0

O que significa isto?

Estamos à procura dos valores de x que deem origem a valores de y

maiores ou iguais a zero.

Ou seja os pontos que estejam acima do eixo do x ou no eixo do x

Todos os pontos que estão a cima do eixo do x são os que estão nos

intervalos

( - ∞ ; - 2 )  ou  ( 4 ; + ∞ )

Mas como temos que incluir os valores de x que têm coordenada em y = 0,

temos que incluir as raízes da função x = - 2 e x = 4

Assim o conjunto solução fica:

( - ∞ ; - 2 ]  ou  [ 4 ; + ∞ )

Seguem-se cálculos de pontos para verificar a verdade do que estamos a dizer.

Exemplo

x = - 3   y = (- 3)² - 2 *(- 3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 15 - 8 = 7

Ponto C ( - 3 ; 7 ) o valor em y vem ≥ 0, logo positivo, que é o que

queremos  

x = 5     y = 5² - 2 *5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 25 - 18 = 7

Ponto D ( 5 ; 7 )   o valor em y vem ≥ 0, logo positivo, que é o que

queremos  

Para já usamos os valores de:

x = - 3  que está no intervalo x ∈ ( - ∞ ; - 2 ]

e

x = 5    que está no intervalo  x ∈  [ 4 ; + ∞ )

Em ambos os casos os valores em y da função foram positivos

( ou seja  ≥ 0 , que era o pretendido

Vou testar valores de x que estejam entre - 2  e 4 para ver se o respetivo

valor de y vem negativo ou positivo.

Exemplo:

x =  3            y = ( 3 )² - 2 * 3 - 8  = 9 - 6 - 8 = - 14 + 9 = - 5

Ponto  E ( 3 ; - 5 )

Como se pode ver dá um valor negativo, < 0 ,  (menor que zero).

E queremos que os valores de y venham todos positivos ou iguais a zero.

Veja no gráfico os pontos  a vermelho.

Não servem como solução.

Exemplo :

x = 0       y = 0² - 2 * 0 - 8 = 0 - 0 - 8 = - 8

Ponto F ( 0 ; - 8 )

Como se pode ver dá um valor negativo, < 0 , menor que zero.

E queremos que os valores de y venham todos positivos.

Não serve como solução.

Nota → A verde estão exemplos de pontos que pertencem aos intervalos

( - ∞ ; - 2 ]  ou  [ 4 ; + ∞ ) e que são os que interessam

A vermelho exemplos dos que não interessam

Bons estudos.

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( - ∞ ; - 2 ]   o valor - 2  está incluído        [ 4 ; + ∞ )   o valor 4  está incluído  

( ≥ ) maior ou igual        ( ∈ ) pertence a     ( < ) menor do que

( |R ) conjunto dos números reais

( | ) tal que      ( $x_{1}$ e $x_{2}$ ) raízes da função do 2º grau