Question

O conjunto solução da inequação| |x-4|+1 | ≤ 2 é um intervalo do tipo (a,b). O valor de a+b é igual a:

Answer 1

Resposta: a + b = 8.

Explicação passo a passo:

Resolver a inequação modular

     $\big||x-4|+1\big|\le 2$

O módulo é menor ou igual que 2 para todos os números que estão entre -2 e 2, inclusive. Logo, devemos ter

     $\Longleftrightarrow\quad -2\le |x-4|+1\le 2$

Subtraia 1 de todos os membros:

     $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad -2-1\le |x-4|+1-1\le 2-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad -3\le |x-4|\le 1\end{array}$

Resolver a inequação acima é equivalente a resolver o seguinte sistema:

     $\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lc} -3\le |x-4|&\quad\mathrm{(i)}\\\\ |x-4|\le 1&\quad\mathrm{(ii)}\end{array} \right.$

• Resolvendo (i):

A inequação (i) é sempre verdadeira para qualquer valor de x, pois o módulo de um número real é no mínimo igual a zero, e zero é maior que − 3. Logo, pela transitividade da relação $\le$, segue que

     $\Longleftrightarrow\quad -3<0\le |x-4|$

para todo $x\in\mathbb{R}:$

     $\Longleftrightarrow\quad x\in\mathbb{R}\qquad\checkmark$

• Resolvendo (ii):

     $\begin{array}{l} |x-4|\le 1\\\\ \Longleftrightarrow\quad -1\le x-4\le 1\end{array}$

Some 4 a todos os membros:

     $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad -1+4\le x-4+4\le 1+4\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3\le x\le 5\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\in [3,\,5] \qquad\checkmark\end{array}$

Fazendo a interseção das soluções de (i) e (ii), obtemos a solução para a inequação inicial:

     $\begin{array}{l} \Longrightarrow\quad x\in \mathbb{R} \cap [3,\,5]\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\in [3,\,5]\end{array}$

Portanto,

     $\begin{array}{l} \Longrightarrow\quad a=3\quad\mathrm{e}\quad b=5\\\\ \Longrightarrow\quad a+b=3+5=8\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}\end{array}$

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Bons estudos!