Question

O conjunto solução da inequação cos²x - sen²x - sen x > 0. No intervalo( $\pi$/2, 3$\pi$ /2 ) é:

Answer 1

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Resolver a equação trigonométrica

     cos² x – sen² x – sen x > 0

no intervalo  (π/2, 3π/2).


Sabemos que  cos² x = 1 – sen² x.  Então, podemos reescrever a inequação como

      (1 – sen² x) – sen² x – sen x > 0

      1 – 2 sen² x – sen x > 0

      – 2 sen² x – sen x + 1 > 0


Multiplicando os dois lados por  – 1,  o sentido da desigualdade se inverte:

      2 sen² x + sen x – 1 < 0


Faça uma mudança de variável:

     sen x = t,   com  – 1 ≤ t ≤ 1


e a inequação fica

      2t² + t – 1 < 0


No lado esquerdo, temos um polinômio quadrático. Vamos fatorá-lo por agrupamento.

Reescreva convenientemente  + t  como  – t + 2t:

      2t² – t + 2t – 1 < 0


Coloque  t  em evidência nos dois primeiros termos, e  1  em evidência nos dois últimos:

      t · (2t – 1) + 1 · (2t – 1) < 0


Coloque o fator comum  (2t – 1)  em evidência, e obtemos

      (2t – 1) · (t + 1) < 0    <———    inequação-produto          (i)


Montando o quadro de sinais:

$\large\begin{array}{cl} \mathsf{2t-1}&\quad\mathsf{\textsf{------}\!\!\!\overset{-}{\underset{-1}{\bullet}}\!\!\!\overset{----------}{\textsf{------------------}}\!\!\overset{0}{\underset{\frac{1}{2}}{\bullet}}\!\!\overset{+++++}{\textsf{---------}}\!\!\overset{+}{\underset{1}{\bullet}}\!\!\textsf{------}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}\quad t}\\\\ \mathsf{t+1}&\quad\mathsf{\textsf{------}\!\!\!\overset{0}{\underset{-1}{\bullet}}\!\!\!\overset{++++++++++++++++}{\textsf{------------------}\!\!\underset{\frac{1}{2}}{\bullet}\!\!\textsf{---------}}\!\!\overset{+}{\underset{1}{\bullet}}\!\!\textsf{------}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}\quad t}\\\\\\ \mathsf{(2t-1)\cdot (t+1)}&\quad\mathsf{\textsf{------}\!\!\!\overset{0}{\underset{-1}{\bullet}}\!\!\!\overset{----------}{\textsf{------------------}}\!\!\overset{0}{\underset{\frac{1}{2}}{\bullet}}\!\!\overset{+++++}{\textsf{---------}}\!\!\overset{+}{\underset{1}{\bullet}}\!\!\textsf{------}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}\quad t} \end{array}$


Na inequação  (i),  queremos que o produto seja negativo. Logo, o intervalo de interesse é

     – 1 < t < 1/2


Substituindo de volta para a variável  x,  temos

     – 1 < sen x < 1/2


Observemos o ciclo trigonométrico.  Como  x ∈ (π/2, 3π/2),  vemos que o seno de  x  é menor que  1/2  apenas quando

     $\mathsf{\dfrac{5\pi}{6}<x<\dfrac{3\pi}{2}}$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~~\dfrac{5\pi}{6}<x<\dfrac{3\pi}{2}\right\}}$


ou usando a notação de intervalos,

     $\mathsf{S=\left]\dfrac{5\pi}{6},\,\dfrac{3\pi}{2}\right[\,.}$


Bons estudos! :-)