Question

O conjunto solução da inequação 2.cos²(x) + cos(x) - 1 ≤ 0, para x ∈ [0,2π], é:
a) S= {x ∈ R | x ≤ -1 ou x ≥ -1/2}
b) S= {x ∈ R | -1 < x < 1/2}
c) S= {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 1/2}
d) S= { }

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja $\sf y=cos~x$

$\sf 2y^2+y-1\le0$

$\sf \Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-1)$

$\sf \Delta=1+8$

$\sf \Delta=9$

$\sf y'=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2\cdot2}=\dfrac{-1\pm3}{4}$

$\sf y'=\dfrac{-1+3}{4}~\rightarrow~y'=\dfrac{2}{4}~\rightarrow~y'=\dfrac{1}{2}$

$\sf y"=\dfrac{-1-3}{4}~\rightarrow~y"=\dfrac{4}{4}~\rightarrow~y"=-1$

Assim, $\sf -1\le y\le\dfrac{1}{2}$

Logo, $\sf -1\le cos~x\le\dfrac{1}{2}$

Como $\sf cos~\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ e $\sf cos~\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$, devemos ter $\sf \dfrac{\pi}{3}\le x\le \dfrac{5\pi}{3}$

Letra C