Question

O conjunto solução da equação
log6x+3)+ log6^(x-2) =2

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\: \bullet \: \sf log_{6} (x + 3) + log_{6}(x - 2) = 2 \: \bullet$

Primeiro devemos verificar a condição de existência desses logaritmos, pois como não temos certeza do valor do logaritmando, temos que nos certificar de que a resposta final esteja de acordo com essas condições.

• Condição de existência:

$\sf log_{ a }(b) \: \to \: \begin{cases} \sf b > 0 \\ \sf a > 0 \: e \: a \ne1 \end{cases}$

Sabendo disto, temos então que:

$\bullet \: \: \sf log_{6}( x + 3) \\ \sf (x + 3) > 0 \: \: \to \: \: x > - 3 \\ \\ \sf \bullet log_{6}(x - 2) \\ \sf ( x - 2) > 0 \: \: \to \: \: x > 2$

Tendo feito isto, vamos iniciar de fato os cálculos em cima desta equação. A primeira coisa que podemos fazer é utilizar a propriedade do produto de logaritmos, dado por:

$\: \: \: \boxed{\sf log_{a}(b) + log_{a}(c) = log_{a}(b.c) }$

Aplicando na equação, temos:

$\: \: \: \: \: \: \: \sf log_{6}[(x + 3).( x- 2)] = 2 \\ \sf log_{6} [x {}^{2} + x - 6] = 2$

Utilizando a definição de logarimo que nos diz que a base elevada ao logarimo é igual ao logaritmando, podemos fazer a seguinte coisa:

$\sf x {}^{2} + x - 6 = 6 {}^{2} \: \: \to \: \: x {}^{2} + x - 6 = 36 \\ \\ \sf x {}^{2} + x = 42 \: \: \to \: \: x_{1} =6 \: \: e \: \: x_{2} = - 7$

Agora temos que analisar, de acordo com a condição de existência, temos que o valor de x deve ser maior que -3 e maior que 2, resolvendo a questão obtemos x = 6 e x = -7, o único que se encaixa no quesito da condição é o x = 6, portanto a resposta desta questão é:

• Resposta x = 6.

Espero ter ajudado