Question

O conjunto solução da equação: 2(log4x)2 +2=5log4x é?

Answer 1

O conjunto solução dessa equação logarítmica é S = {25; √10/4}

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Acredito que a equação dada seja:

$\sf2\,log^24x+2=5\,log\,4x$

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Obs.: as notações log²4x e (log 4x)² exercem a mesma função.

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Podemos notar que essa eq. é artificiosa, pois assemelha-se muito à uma equação quadrática. Nesse sentido, substitua log 4x = m (sendo “m” uma variável auxiliar real) e resolva a nova eq. encontrada:

$\sf2m^2+2=5m$

$\sf2m^2-5m+2=0$

$\sf2m^2-m-4m+2=0$

$\sf m(2m-1)-2(2m-1)=0$

$\sf (m-2)(2m-1)=0$

$\sf m-2=0~\vee~2m-1=0$

$\vdots$

$\sf m_1=2~\land~m_2=\dfrac{1}{2}$

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Substituindo de volta m₁,₂ = log 4x:

$\sf log\,4x=2~\vee~log\,4x=\dfrac{1}{2}$

Note que devemos ter 4x > 0 ⇔ x > 0 para os logaritmos existirem, pois os logaritmandos não podem ser valores não positivos (nulos ou negativos).

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Agora pela definição de logaritmo, $\sf log_a\,b=c~\Longleftrightarrow~b=a^c$, a ser 0 < a ≠ 1 e b > 0:

$\sf log_{10}\,4x=2~\vee~log_{10}\,4x=\dfrac{1}{2}$⠀➞⠀como são logaritmos decimais, suas bases valem 10.

$\sf 4x=10^2~\vee~4x=10^\frac{1}{2}$

$\sf 4x=100~\vee~4x=\sqrt{10}$

$\sf x=\dfrac{100}{4}~\vee~x=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$

$\sf x_1=25~\land~x_2=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$

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Portanto, as raízes que a equação dada possui são 25 e √10/4. Representamos o conjunto solução por:

$\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\sf S=\bigg\{25\,;~\dfrac{\sqrt{10}}{4}\bigg\}\\\\\end{array}}}$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.