Question

.O conjunto imágem (da função f(x)=2^|x+1|-2

Answer 1

O enunciado não está claro, mas há só duas possibilidades:

$f(x)=2^{|x+1|}-2$ (acho que é isso). Mas se não for é $f(x)=2^{|x+1|-2}$

No primeiro caso, temos $f(x)=2^{|x+1|}-2$.

Pela definição de módulo, sabemos que $|a|=a$ se $a\ge0$ e $|a|=-a$ se $a<0$

Deste modo, na pior das hipóteses $|x+1|=0$. Isso acontece quando $x=-1$. Isto é, o valor mínimo de $|x+1|$ é $0$.

Assim, o valo mínimo de $2^{|x+1|}$ é $2^0=1$ e, portanto, o menor valor de $f(x)=2^{|x+1|}-2$ é $1-2=-1$, obtido quando $x=-1$:

$f(-1)=2^{|-1+1|}-2=2^{|0|}-2=2^0-2=1-2=-1$

Logo, neste caso, o conjunto imagem da função é$\text{Im}(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge-1\}$

Mas, caso seja $f(x)2^{|x+1|-2}$, temos o seguinte:

Já vimos que o menor valor possível para $|x+1|$ é $0$, então, o valor mínimo que $|x+1|-2$ pode assumir é $0-2=-2$, novamente quando $x=-1$.

Assim, o menor valor possível para $2^{|x+1|-2}$ é $2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$

Neste caso, o conjunto imagem da função é $\text{Im}(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge\frac{1}{4}\}$