Question

O conjunto ilustrado, é constituído por um disco horizontal soldado a um eixo fixo vertical, e gira em torno deste. O disco parte do repouso, com aceleração angular constante 5 rad/s2. Um bloco apoia-se no disco e não escorregará até a aceleração total do mesmo atingir 0,4 m/s2. O bloco dista d = 0,04 m do eixo. No instante em que o corpo inicia o escorregamento, a frequência de rotação do disco, em rpm, é aproximadamente:

Answer 1

Olá!

Considerarei que o eixo é ortogonal ao disco e intersecta seu centro.

A "aceleração total" $a$ possui duas componentes ortogonais entre si: a aceleração centrípeta $a_c$ e a aceleração tangencial $a_t$. Assim sendo, a aceleração total pode ser expressa como:

$a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}\Rightarrow{}a^2=a_c^2+a_t^2$

A aceleração tangencial a uma distância $d$ do eixo em função da aceleração angular $\alpha$ é tal que:

$a_t=\alpha{}d$

A aceleração centrípeta, em termos da velocidade tangencial $v$ a uma distância $d$ do eixo, é dada por:

$a_c=\dfrac{v^2}{d}$

Além disso, a velocidade tangencial $v$ a uma distância $d$ do eixo relaciona-se com a velocidade angular $\omega$ da seguinte forma:

$v=\omega{}d$

Frequência $f$ e velocidade angular estão associadas como segue:

$\omega=2\pi{}f$

Aplicando progressivamente as relações na equação da aceleração total:

$a^2=a_c^2+a_t^2\\\\a^2=\left(\dfrac{v^2}{d}\right)^2+(\alpha{}d)^2=\dfrac{v^4}{d^2}+\alpha^2d^2\\\\a^2=\dfrac{(\omega{}d)^4}{d^2}+\alpha^2d^2=\omega^4d^2+\alpha^2d^2\\\\a^2=(2\pi{}f)^4d^2+\alpha^2d^2=16\pi^4f^4d^2+\alpha^2d^2$

Isolando a frequência:

$a^2=16\pi^4f^4d^2+\alpha^2d^2\Rightarrow{}f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt[4]{\dfrac{a^2}{d^2}-\alpha^2}$

Para uma aceleração total de $a=0{,}4\,\text{m/s}^2$ provocada por uma aceleração angular de $\alpha=5\,\text{rad/s}^2$ a uma distância de $d=0{,}04\,\text{m}$ do eixo, a frequência de rotação assume o seguinte valor:

$f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt[4]{\dfrac{(0{,}4)^2}{(0{,}04)^2}-(5)^2}\,\text{Hz}\approx0{,}47\,\text{Hz}\\\\\boxed{f\approx28{,}10\,\text{rpm}}$

Bons estudos!