Question

o conjunto dos números racionais surgiu pela necessidade de representar partes de um inteiro e as divisões que obtinham resultados decimais. podemos afirmar que: Q = R - 1. assim, podemos afirmar que um número racional qualquer:

Answer 1

Você provavelmente já deve ter visto muitas frações e números decimais por aí, mas você sabia que elas possuem algo em comum? As frações e os números decimais pertencem a um mesmo conjunto numérico, o Conjunto dos Números Racionais, que é representado pela letra .

Mas o que são Números Racionais?

Em geral, nós dizemos que todo número escrito da forma  é um número racional, sendo que p e qsão números inteiros e q ≠ 0. Observe que  pode ser positivo ou negativo, já que p e q são inteiros.

Mas o que os números decimais têm a ver com tudo isso?

Você já ouviu dizer que toda fração é uma divisão? Pois então, se temos uma fração do tipo , nós podemos representá-la como 0,5, já que, ao dividirmos o numerador 1 pelo denominador 2, obtemos o quociente 0,5. Portanto, podemos afirmar que os decimais e as frações são alternativas para representar um mesmo número racional. Vamos ver alguns exemplos de números inteiros expressos como decimais:

3 = 0,75
4           

– 17 = – 8,5
2         

100 = – 12,5
– 8                

12 = 2,4
5         

Curiosidade: A letra  foi escolhida para representar o conjunto dos números racionais porque quociente começa com q e é resultado de uma divisão. Como já foi dito, toda fração é uma divisão.

E os números naturais e inteiros são racionais também?

Tanto os números naturais quanto os números inteiros podem ser classificados como números racionais, pois cada um deles pode ser expresso como uma fração. Vejamos alguns exemplos:

20 = 5
4

– 100 = – 10
10

27 = – 3
–9

10 = 2
5

Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais () e o conjunto dos números inteiros () pertencem ao conjunto dos números racionais ().

Dízimas periódicas e Fração Geratriz

Existe uma classe especial de números racionais que é composta pelas dízimas periódicas — números decimais infinitos que são resultados de divisões inexatas. Por exemplo, dada a fração , se dividirmos seu numerador 1 pelo denominador 3,obteremos o quociente 0,333333.... Observe que o número 3 repete-se infinitamente, portanto esse quociente pode ser chamado de dízima periódica e a fração  que lhe deu origem recebe o nome de fração geratriz.

Vejamos exemplos de outras dízimas periódicas e suas respectivas frações geratrizes:

15 = 1,6666...
9                 

– 12 = – 0,148148148...
81                              

7 = 0,0388888...
180                        

5 = – 0,185185185...
–27