Question

O conjunto de todos os valores de x que atendem a equação abaixo é:

8^x+8^-x = 8^0,333

Answer 1

Vamos encontrar a fração geratriz de $0,333...$:

$\mathsf{x=0,333...}$

Multiplicando os dois lados da igualdade por 10 para separar o período da dízima:

$\mathsf{10\cdot x=10\cdot0,333...}\\\\\mathsf{10x=3,333...}\\\\\mathsf{10x=3+0,333...}\\\\\mathsf{10x=3+x}\\\\\mathsf{10x-x=3}\\\\\mathsf{9x=3}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{3}{9}}~~~\Longrightarrow~~~\boxed{\boxed{\mathsf{x=\dfrac{1}{3}}}}$
_______________________________

$8^{x}+8^{-x}=8^{0,333...}\\\\8^{x}+8^{-x}=8^{1/3}\\\\8^{x}+8^{-x}=\sqrt[3]{8^{1}}\\\\8^{x}+8^{-x}=\sqrt[3]{8}\\\\8^{x}+8^{-x}=2$

Substituindo $8^{-x}=\frac{1}{8^{x}}$:

$8^{x}+\dfrac{1}{8^{x}}=2$

Multiplicando todos os membros por $8^{x}$:

$8^{x}\cdot8^{x}+8^{x}\cdot\frac{1}{8^{x}}=2\cdot8^{x}\\\\8^{x+x}+1=2\cdot8^{x}\\\\8^{2x}+1=2\cdot8^{x}\\\\8^{2x}-2\cdot8^{x}+1=0\\\\(8^{x})^{2}-2(8^{x})+1=0$

Podemos olhar para essa equação como uma equação do segundo grau com variável $y=8^{x}$, tanto que, se fizéssemos a substituição $y=8^{x}$ na última igualdade, obteríamos $y^{2}-2y+1=0$

Além disso, sabemos que $(y-1)^{2}=y^{2}-2y+1$, então

$(8^{x})^{2}-2(8^{x})+1=0~~\Leftrightarrow\\\\(8^{x}-1)^{2}=0$

Tirando raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

$\sqrt{(8^{x}-1)^{2}}=\sqrt{0}\\\\|8^{x}-1|=0~~\Leftrightarrow\\\\8^{x}-1=0~~\Leftrightarrow\\\\8^{x}=1~~\Leftrightarrow\\\\8^{x}=8^{0}\\\\\boxed{\boxed{x=0}}$

Ou seja, o único valor de $x$ que soluciona a equação exponencial é $x=0$