Question

O Conjunto de todos os valores de K, para os quais o trinômio de Segundo Grau em x,y = 3x^2-(k+1)x+3 tem uma raiz igual ao dobro da outra é.

Reposta: {-1+9/2√2, -1-9-2√2}

Answer 1

$y=3x^{2}-(k+1)x+3$

Sejam as 2 raízes q e 2q

Calculando a soma e produto das raízes:

$S=q+2q=3q\\P=q*2q=2q^{2}$

Sabemos que a soma e produto das raízes é dada por:

$S=-b/a\\P=c/a$
___________________________

$-b/a=3q\\-[-(k+1)]/3=3q\\(k+1)/3=3q\\k+1=3*3q\\k+1=9q$

$c/a=2q^{2}\\3/3=2q^{2}\\1=2q^{2}\\q^{2}=1/2\\q=\pm~\sqrt{1/2}\\q=\pm~1/\sqrt{2}\\q=\pm~\sqrt{2}/2$

Voltando a k+1 = 9q:

Se q = √2 / 2:

$k+1=9q\\k+1=9*\sqrt{2}/2\\k+1=9\sqrt{2}/2\\k=\frac{9\sqrt{2}}{2}-1\\k=-1+\frac{9}{2}\sqrt{2}$

Se q = - √2 / 2:

$k+1=9q\\k+1=9(-\sqrt{2}/2)\\k+1=-9\sqrt{2}/2\\k=-\frac{9\sqrt{2}}{2}-1\\k=-1-\frac{9}{2}\sqrt{2}$

$S=\{-1+\frac{9}{2}\sqrt{2},~-1-\frac{9}{2}\sqrt{2}\}$