Question

O conceito de número complexo teve um desenvolvimento gradual. Começaram a ser utilizados formalmente no século XVI em fórmulas de resolução de equações de terceiro e quarto graus. Dentre os assuntos abordados em números complexos destacamos as operações entre números complexos na forma polar e na forma algébrica.
Considere z1 = 2 + bi, z2 = c + i e z3 = 2(cosα + i senα) números complexos, em que b, c e α são números reais com b diferente de zero e 0 ≤ α ≤ 2π.
Analise as afirmativas a seguir:

I. Se o módulo de z1 for igual ao módulo de z2 então b < c.
II. Existe exatamente um valor de α tal que (z3)3 é um número real.
III. Escrevendo z2 na forma trigonométrica, com argumento β entre 0 e 2π, temos que β ≥ π.
IV. Existem b e c tais que z1 = z2.
V. Se c = 2/b então z1/z2 é um número real.

É correto o que se afirma apenas em:
A) I e II, apenas.
B) II e III, apenas.
C) IV e V, apenas.
D) I, II e III, apenas.
E) II, III, IV e V, apenas.

Answer 1

A afirmação correta sobre números complexos é c) IV e V.

I. Módulo de um número complexo

O módulo de um número complexo z = a + bi é dado por:

|z| = √(a² + b²)

Se |z1| = |z2|:

√(2² + b²) = √(c² + 1²)

4 + b² = c² + 1

b² = c² - 3

Como os números estão elevados ao quadrado, b não é necessariamente menor do que c. Por exemplo, poderíamos ter c = -2 e b = 1. Portanto a afirmação I é falsa.

II. Número real

O número complexo z3 = 2(cosα + i senα) é considerando real puro se:

senα = 0

=> Existem dois valores de alfa: α = 0 ou α = π

Portanto a afirmação II é falsa.

III. Forma polar ou trigonométrica

O número z2 = c + i na forma trigonométrica fica:

z2 = √(c²+1).( cos(β) + sen(β) )

Sendo β = tan(1/c)

Ou seja, não podemos afirmar se β ≥ π. Portanto, a afirmação III é falsa.

IV. Números complexos iguais

Se z1 = z2, teríamos 2 + bi = c + i.

Com b = 1 e c =2 teríamos essa igualdade. Portanto, a afirmação IV é correta.

V. Divisão de números complexos

Para dividir dois números complexos, basta dividir os módulos e subtrair as fases.

θ₁ = tan(b/2)

θ₂ = tan(1/(2/b)) =  tan(b/2)

=> θ₁ - θ₂ = 0 ou θ₁ - θ₂ = π

=> z1/z2 é um número real puro. A afirmação V é correta.

Logo, a alternativa c) IV e V é a correta.

Saiba mais sobre números complexos em: https://brainly.com.br/tarefa/47813228

#SPJ1