Question

O conceito de limites é uma das bases do cálculo, pois ele é referencia para se definir derivas e integrais. Além dos conceitos intuitivos de limites devemos conhecer propriedades e vários teoremas, entre eles destacamos o do confronto. Neste sentido, resolva a questão abaixo usando a ideia de função limitada e também o teorema do confronto.

Sejam as funções de reais em reais com as seguintes características para todo valor x:

$| sen\:x| \leq f(x) \leq 3|x|$

$0 \leq g(x) \leq 1+|sen\:x|$

I) Podemos afirmar que a função f é limitada inferiormente? Justifique.
II) A função g é limitada superiormente? Justifique.
III) Determine o valor de:
$\lim_{x \to 0} \left(3\:f(x).g(x)+2\:cos\:x\right)$

Answer 1

Vamos analisar a primeira inequação:

$|sen\:x|\leq f(x)\leq 3|x|$

A questão nos pede que informemos se "f" é limitada inferiormente. Vamos então analisar a função cujos valores são sempre menores que "f".

Sabemos que a imagem de $sen\:x$ é [-1, 1]. Entretanto a função à esquerda da inequação é $|sen\:x|$, cuja imagem é [0, 1]. Se o valor mínimo de $|sen\:x|$ é 0, e "f" é sempre maior ou igual ao valor desta função então sim, "f" é limitada inferiormente sendo 0 o limite inferior.

Agora analisemos a segunda inequação:

$0\leq g(x)\leq 1+|sen\:x|$

A questão agora requer que informemos se "g" é limitada superiormente. Observemos a função à direta na inequação: $1+|sen\:x|$

Já sabemos a imagem de $|sen\:x|$, bastando então somar 1. Isto é: [1, 2].

Se o valor máximo de $1+|sen\:x|$ é 2 e "g" é sempre menor ou igual ao valor desta função então sim, "g" é limitada superiormente sendo 2 o limite superior.

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Vamos agora ao limite:

$\lim_{x\to0} (3f(x).g(x)+2\cos\:x)$

Por propriedade podemos rescrever este limite como:

$\lim_{x\to0} 3 *\lim_{x\to0} f(x) *\lim_{x\to0}g(x)+\lim_{x\to0}2*\lim_{x\to0}(\cos\:x)$

Porém não sabemos os valores dos limites de "f" nem de "g". Voltemos às inequações originais:

$|sen\:x|\leq f(x)\leq 3|x|$

Sabemos que "f" está contida entre as outras duas funções em qualquer valor de seu domínio. Vamos então aplicar o limite em todos os termos da inequação:

$\lim_{x\to0}|sen\:x|\leq\lim_{x\to0} f(x)\leq\lim_{x\to0} 3|x|\\\\0\leq \lim_{x\to0} f(x)\leq 0$

Se "f" está sempre contida entre as duas funções e o limite de ambas é 0 em x->0 então pelo Teorema do Confronto o limite de "f" também será 0

Você poderia tentar fazer o mesmo para descobrir o valor de "g" porém perceba na nossa expressão que temos o limite de "f" como um fator, e seu valor é 0, o que torna desnecessário sabermos qualquer outro valor:

$\lim_{x\to0} 3 *\lim_{x\to0} f(x) *\lim_{x\to0}g(x)+\lim_{x\to0}2*\lim_{x\to0}(\cos\:x)\\\\3 *0 *\lim_{x\to0}g(x)+2*\lim_{x\to0}(\cos\:x)\\\\0+2*\lim_{x\to0}(\cos\:x)\\\\0+2*1=2$