Question

O conceito de limites é uma das bases do cálculo, pois ele é referencia para se definir derivas e integrais. Além dos conceitos intuitivos de limites devemos conhecer propriedades e vários teoremas, entre eles destacamos o do confronto. Neste sentido, resolva a questão abaixo usando a ideia de função limitada e também o teorema do confronto.

Sejam as funções de reais em reais com as seguintes características para todo valor x:

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I) Podemos afirmar que a função f é limitada inferiormente? Justifique.
II) A função g é limitada superiormente? Justifique.
III) Determine o valor de:
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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

 Começaremos aplicando o teorema do confronto em cada função dada, |senx| ≤f(x)≤3|x|

Sabemos que -1≤senx≤1,para todo x, sabendo disso vamos reescrever nossa função, e aplicar os limites, vamos multiplicar ambos os lados das desigualdades por 3|x|. Ficará com essa cara:

H(x)   lim┬(x→o)⁡〖-3 〗 |x|   ≤   f(x)lim┬(x→o) |senx|.3|x|   ≤   g(x) lim┬(x→o)⁡〖3 〗 |x|

H(x) lim┬(x→o)⁡〖-3 〗 |x|=0     e     g(x) lim┬(x→o)⁡〖3 〗 |x|=0.  Isso nos garante por definição que quando x tende a zero, o limite da função f(x) também tende a zero.

Agora vamos analisar a função 0 ≤g(x)≤1+|senx|.     Sabemos que -1≤1+senx≤1,para todo x,  então vamos somar   1+|senx|.     Ambos os lados das desigualdades

F(x) lim┬(x→o) 1-|senx|.   ≤ g(x) lim┬(x→o) 1+|senx|.  ≤ h(x)   lim┬(x→o) 1+|senx|.  

  F(x) lim┬(x→o) 1-|senx| = 1      e     h(x)   lim┬(x→o) 1+|senx|.  = 1

           

         Isto nos garante pelo teorema do confronto que quando nossa função f(x)≤ g(x)≤ h(x), quando x tende a zero.

Determine o valor de: lim┬(x→0)⁡(3f(x).g(x)+2cos(x))

Vamos começar reescrevendo a função: vamos multiplicar toda a expressão por x ficando desta forma,3xf(x).g(x).x+2cosx^2  

Sabemos que -2 ≤ 2cosx^2≤  2

H(x)= (3x.-2 ≤ 2cosx^2≤  2.3x)   =           -6x ≤ 2cosx^2≤ 6x

F(x)= - 6x   lim┬(x→0)⁡〖f(x)〗  = 0

G(x)= 6x   lim┬(x→0)⁡〖g(x)〗  =0  

Fundamentando nosso calculo no teorema do confronto e tendo nossas duas funções com seus limites tendendo a zero temos que o limite da nossa função H(x)= (3x.-2 ≤ 2cosx^2≤  2.3x) também tende a zero.