Question

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida neste Cálculo: Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais. Para entender os conceitos desta cadeia a Teoria de Limites é fundamental. Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível por meio de métodos numéricos que utilizam fortemente as ideias de limites e continuidade. Para enfatizar a resolução de problemas com o uso do Cálculo Diferencial de Várias Variáveis e o conhecimento adquirido ao longo da disciplina, resolva o seguinte exercício sobre limite e continuidade:

Answer 1

Olá, boa noite.

Temos a seguinte função de duas variáveis definida por partes

$f(x,~y)=\begin{cases}x^2+2y,~(x,~y)\neq(1,~2)\\ 0,~(x,~y)=(1,~2)\\\end{cases}$

Devemos determinar:

a) Se esta função tem limite quando $x\rightarrow1$ e $y\rightarrow 2$.

Observe que não nos interessamos com o que acontece com a função quando $x$ e $y$ assumem estes valores e sim, o que acontece quando as variáveis assumem valores próximos.

Logo, assumimos o limite $\underset{(x,~y)\rightarrow(1,~2)}{\lim}~x^2+2y$ e devemos analisar seus limites laterais.

Para que um limite exista, seus limites laterais devem ser iguais, logo fazemos:

$\underset{(x,~y)\rightarrow(1,~2)^+}{\lim}~x^2+2y$

Como se trata de uma função polinomial, ela está definida para o conjunto dos reais, logo

$1^2+2\cdot 2$

Calcule a potência e multiplique os valores

$1+4$

Some os valores

$5$

Então, agora calculamos o limite quando as variáveis tendem ao ponto pela esquerda: $\underset{(x,~y)\rightarrow(1,~2)^-}{\lim}~x^2+2y$

Da mesma forma, por se tratar de uma função polinomial, ela está definida para o conjunto dos reais, logo

$1^2+2\cdot 2$

Calcule a potência e multiplique os valores

$1+4$

Some os valores

$5$

Como pudemos ver, os limites laterais são iguais, logo

$\bold{\underset{(x,~y)\rightarrow(1,~2)}{\lim}~x^2+2y=5}$

f(x, y) tem limite quando x tende a 1 e y tende a 2.

b) A função é contínua em $(1, 2)$

Para isso, nos baseamos no que já foi calculado. Assim como limites de uma variável, se o limite da função nos pontos for igual ao seu valor no ponto: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$ para todo o intervalo e o gráfico não apresenta uma descontinuidade no ponto, a função é contínua.

Porém, para os valores de $x\rightarrow 1$ e $y\rightarrow 2$, nos foi definido que a função é igual a zero, logo nossa resposta final é:

A função f(x, y) não é contínua em (1, 2).