Question

O conceito de congruência, bem como o conceito de divisibilidade admite algumas propriedades elementares, notação através da qual essa noção tornou um dos instrumentos mais poderosos da teoria dos números, portanto leia as alternativas a seguir analisando se são falsas ou verdadeiras:

I 51 ≡ 242 (mód. 12).

II - 65 ≡ - 90 (mod 5).

III 80 ≡ - 123 (mód.4).

IV - 44 ≡ 604 (mód. 9).

V 243 ≡ 117 (mód. 7).




a) F V V V F


b) F V F V V


c) V F V F V


d) V V V V F


e) V V F V F

Answer 1

Pela definição de módulo: seja m > 1 um número inteiro. Diz-se que a e b (também inteiros) são congruentes módulo m se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m, então a ≡ b mod(m).

Umas das propriedades é que a e b estabelece uma equivalência por estarem na mesma classe (possuem o mesmo resto), onde a diferença entre eles é divisível pelo seu módulo. a ≡ b mod(m) ↔ a - b é divisível por m. Sendo assim:

I) 51 ≡ 242 mod(12)
51 - 242 = -191
-191 = 12 x -16 + 1
A diferença deixa resto 1, logo FALSO.

II) 65 ≡ - 90 mod(5)
65 - (-90) = 155
155 = 5 x 31 + 0
A diferença não deixa resto, logo VERDADEIRO.

III) 80 ≡ - 123 mod(4)
80 - (-123) = 203
203 = 4 x 50 + 3
A diferença deixa resto 3, logo FALSO.

IV) -44 ≡ 604 mod(9)
-44 - 604 = -648
-648 = 9 x -72 + 0
A diferença não deixa resto, logo VERDADEIRO.

V) 243 ≡ 117 mod(7)
243 - 117 = 126
126 = 7 x 18 + 0
A diferença não deixa resto, logo VERDADEIRO.

Resposta B