O comprimento L de um retangulo diminui a uma taxa de 2cm/s, enquanto a largura w aumenta a uma taxa de 2 cm/s. Determine as taxas de variação para:A)áreaB) O perímetroC) Os comprimentos das diagonais do retangulo quando L=12cm e w=5cmQuais medidas estao diminuindo e quais estao aumentando?(TAXAS RELACIONADAS)
Soluções para a tarefa
A área é dada pela expressão a = L.w, agora vamos derivar cada membro usando a regra da cadeia, substituindo os valores de w = 5, L = 12, dL/dt = -2 cm/s e dw/dt = 2 cm/s e utilizando as notações adequadas:
b)
O perímetro é dado por p = w + w + L + L, rearranjando, derivando, utilizando as notações e substituindo os valores, temos:
c)
A diagonal do retângulo pode ser descoberta através do teorema de Pitágoras. Sabendo isso, vamos derivar e realizar o mesmo processo feito nas etapas anteriores para descobrir a taxa de variação da diagonal.
A letra a é crescente, letra b é constante e c está decrescendo.
Para resolver problemas de taxas relacionadas adotamos o seguinte roteiro:
1)Identificar as variáveis
2) Achar uma relação entre as variáveis
3)Derivar em relação a variável de referência
4) Substituir os valores conhecidos
5) Isolar o que se deseja calcular.
1) no item a as variáveis são comprimento, largura e área. No item b, as variáveis são comprimento, largura e perímetro e no item c são a diagonal, o comprimento e a largura.
2)
a) A relação entre área, comprimento e largura é dada pela equação
Dados:
Derivando em relação ao tempo temos
Substituindo os valores temos
b)
A relação entre perímetro, comprimento e largura é dada por
Derivando em relação a t temos
Substituindo os valores temos
Ou seja, o perímetro não cresce e nem decresce.
c) A relação entre diagonal x, comprimento e largura é
Derivando em relação a t temos
Substituindo os valores:
Taxa que está aumentando:
Taxa que está diminuindo: