Question

O comprimento da mediana relativa ao lado AC do triângulo ABC sendo A(4,2),B(2,3) e C(4,8).

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Yllrac, que a resolução é simples.
Note que a mediana de um triângulo é o segmento que parte de cada vértice e divide o lado oposto ao meio.
Assim, como é pedido o comprimento da mediana relativa ao lado AC do triângulo ABC, cujos vértices são estes: A(4; 2), B(2; 3) e C(4; 8), então vamos encontrar qual é o comprimento de cada lado, aplicando a fórmula da distância (d) entre dois pontos.
Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Comprimento do lado AB, com A(4; 2) e B(2; 3). Assim, calculando a distância (d) entre os pontos A e B, teremos:

d² = (2-4)² + (3-2)²
d² = (-2)² + (1)²
d² = 4 + 1
d² = 5
d = +-√5 ----- como a medida do lado de um triângulo não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = AB = √5 <--- Esta é a medida do lado AB.

ii) Comprimento do lado BC, com B(2; 3) e C(4; 8). Assim, calculando a distância (d) entre os pontos B e C, teremos:

d² = (4-2)² + (8-3)²
d² = (2)² + (5)²
d² = 4 + 25
d² = 29
d = +-√29 ----- tomando-se apenas a raiz positiva, temos que:
d = BC = √29 <--- Esta é a medida do lado BC.

iii) ii) Comprimento do lado AC, com A(4; 2) e C(4; 8). Assim, calculando a distância (d) entre os pontos A e C, teremos:

d² = (4-4)² + (8-2)²
d² = (0)² + (6)²
d² = 0 + 36 --- ou apenas:
d² = 36
d = +-√36 ----- como √36 = 6, teremos:
d = +-6 ----- tomando-se apenas a raiz positiva, temos que:
d = AC = 6 <--- Esta é a medida do lado AC.

iv) Agora veja: já temos as medidas dos três lados do triângulo, que são:
 
AB = √5 
BC = √29
AC = 6.

Veja também isto: a mediana relativa ao lado AC partirá do vértice B e dividirá o lado AC ao meio. Então, as coordenadas do ponto médio do lado AC serão estas, cujo ponto chamaremos de M. Note que as coordenadas dos pontos A e C são estas: A(4; 2) e C(4; 8). Assim,encontrando o ponto médio, teremos:

M[(4+4)/2; (2+8)/2]
M[(8)/2; (10)/2]
M[4; 5] ---- ou seja, o ponto médio de AC tem as seguintes coordenadas:

M(4; 5) <---- Este é o ponto médio de AC.

v) Finalmente, agora vamos ver qual é a medida da mediana relativa ao lado AC.
Veja que a mediana que divide o lado AC ao meio partiu do vértice B.
Assim, encontraremos a distância (d) do vértice B(2; 3) ao ponto médio do lado AC, que é: M(4; 5). Logo:

d² = (4-2)² + (5-3)²
d² = (2)² + (2)²
d² = 4 + 4
d² = 8
d = +-√8 ------ como 8 = 2³ = 2².2, teremos:
d = +-√(2².2) ----- veja que o "2" que está ao quadrado sai de dentro da raiz quadrada, ficando assim:

d = +-2√(2) ----- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos que:

d = 2√(2) <--- Esta é a resposta. Esta é a medida da mediana relativa ao lado AC.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por curiosidade, existiu um matemático chamado Stewart, que criou um método específico para calcular a medida da mediana relativa a um determinado lado de um triângulo.
Tal método restringe-se à seguinte fórmula:

m = √[(2b² + 2c² - a²)/4]

Na fórmula acima, "m" é a mediana cuja medida quer-se procurar; "a" é a medida do lado que a mediana intercepta, enquanto "b", "c" é a medida dos outros dois lados.
Já temos que o lado AB = √5, o lado BC = √29 e o lado AC = 6 (este é o lado do triângulo que a mediana intercepta). Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

m = √{[2*√5² + 2*√29² - 6²]/4} ----- desenvolvendo, teremos:
m = √{[2*5 + 2*29 - 36]/4}
m = √{[10 + 58 - 36)]/4} ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
m = √{[32]/4} ----- como 32/4 = 8, teremos:
m = √(8) ----- como já vimos que 8 = 2³ = 2².2, temos:
m = √(2².2) ----- o 2², por estar ao quadrado, sai de dentro da raiz, ficando assim:

m = 2√(2) <--- Veja aí como a resposta é a mesma.

Com isso comprova-se que não interessa o método utilizado para resolver questões da espécie, o que importa é a escolha do método correto.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.