Question

O comprimento da corda formada pela intersecção da reta 3x – 4y + 13 = 0 com a circunferência de equação $x^{2} + y^{2} - 2x + 2y - 23 = 0$ , em unidades de comprimento, mede quanto?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá!

Isole $x$ na equação da reta:

$x=\frac{-13+4y}{3}$

Substitua na equação da circunferência:

$\left(\frac{-13+4y}{3}\right)^{2}+y^{2}-2\left(\frac{-13+4y}{3}\right)+2y=23$

$\frac{169-104y+16y^{2}}{9}+y^{2}+\frac{26-8y}{3}+2y=23$

Multiplique ambos os lados por $9$:

$169-104y+16y^{2}+9y^{2}+78-24y+18y=207$

Colete os termos em $y$:

$25y^{2}-110y+40=0$

Divida a equação por $5$:

$5y^{2}-22y+8=0$

Resolva a equação do 2°grau:

$\Delta=484-160=324$

$y=\frac{22\pm 18}{10}$

$y=4$ ou $y=\frac{2}{5}$

Substitua esses valores na equação da reta para obter os valores correspondentes de $x$:

$x=1$ ou $x=-\frac{19}{5}$

Então, temos os pontos de interseção $A(1,4)$ e $B\left(-\frac{19}{5},\frac{2}{5}\right)$.

Sabendo que a distância entre dois pontos vale:

$\boxed{D=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$

$D=\sqrt{\left(1+\frac{19}{5}\right)^{2}+\left(4-\frac{2}{5}\right)^{2}}$

$D=6$

Portanto, o comprimento da corda é $6\:u.c.$