Question

O comprimento da corda determinada pela reta x – y = 2 sobre a circunferência cujo centro é (2,3) e o raio mede 3 cm é igual a:

a) 4 2 cm b) 5 3 cm c) 4 cm d) 3 2 cm e) n.d.a.

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Answer 1

Primeiro vamos montar a equação da circunferência, para isso basta lembrar a forma reduzida de uma circunferência, que é dada por:

$\sf (x - a) {}^{2} + (y - b) { }^{2} = r {}^{2}$

Substituindo os dados na fórmula:

$\sf (x - 2) {}^{2} + (y - 3) {}^{2} = 3 {}^{2} \\ \sf (x - 2) {}^{2} + (y - 3) {}^{2} = 9 \: \:$

Agora vamos isolar o "y" da equação da reta:

$\sf x - y = 2\longrightarrow y = x - 2$

Note que esse é o "valor" de "x" então vamos substituir o mesmo na equação da circunferência para que possamos encontrar os pontos de intersecção entre os mesmos.

$\sf (x - 2) {}^{2} + (x - 2 - 3) {}^{2} = 9 \\ \sf ( x - 2) {}^{2} + (x - 5) {}^{2} = 9 \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf x {}^{2} - 4x + 4 + x {}^{2} - 10x + 25 = 9 \\ \sf 2x {}^{2} - 14x + 29 = 9 \\ \sf 2x {}^{2} - 14x + 20 = 0$

Resolvendo essa equação do segundo grau:

$\sf 2x {}^{2} - 14x + 20 = 0 \longrightarrow \begin{cases} \sf x_1 =5 \\ \sf x_2 = 2 \end{cases}$

Portanto esses são os pontos de interseção dessas duas funções. Substituindo esses valores na equação e descobrindo o seu "y" respectivo:

$\begin{cases} \sf para \: x = 2 \\ \sf x - y = 2 \\ \sf 2 - y = 2 \\ \sf y = 0 \end{cases} \begin{cases} \sf para \: x = 5 \\ \sf 5 - y = 2 \\ \sf - y = 2 - 5 \\ \sf y = 3\end{cases}$

Portanto temos que os pontos são:

$\sf P_1(2,0) \: \: e \: \: P_2(5,3)$

Esses são os pontos de interseção com a circunferência, se calcularmos a distância entre esses dois pontos, podemos encontrar o tamanho da mesma, então:

$\sf d_{P_1,P_2} = \sqrt{(5 - 2) {}^{2} + (3 - 0) {}^{2} } \\ \sf d_{P_1,P_2} = \sqrt{3 {}^{2} + 3 {}^{2} } \\ \sf d_{P_1,P_2} = \sqrt{18} \\ \boxed{ \sf d_{P_1,P_2} = 3 \sqrt{2} \: \: ou \: \: 4,2}$

Essa seria a resposta. O cálculo também poderia ser dado pelo uso de integrais que são artifícios usados no ensino superior. A integral seria:

$\sf C = \int\limits_{ a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right) {}^{2} } dx$

Observe que o resultado seria o mesmo:

$\sf C = \int\limits_ {2}^{5} \sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx}x - 2 \right) {}^{2} } dx \\ \\ \sf C = \int\limits_ {2}^{5} \sqrt{1 + \left(1 \right) {}^{2} } dx \\ \\ \sf \sf C = \int\limits_ {2}^{5} \sqrt{2 } dx \\ \\ \sf C = \sqrt{2}{ x} \bigg | _ {2}^{5} \\ \\ \sf C = \sqrt{2}.5 - \sqrt{2}.2 \\ \\ \sf C = 5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \\ \\ \boxed{\sf C = 3\sqrt{2} \: \: ou \: \: 4,2}$

Espero ter ajudado