Question

O coeficiente do termo com x4y15 no desenvolvimento do produto notável (x + 2y)19 é

Answer 1

Analisando o binomio newtoniano, temos que este coeficiente é:

$\frac{19!}{4!15!}.2^{15}$

Explicação passo-a-passo:

Então temos o seguinte binomio:

$(x+2y)^{19}$

E qualquer binomio do tipo:

$(a+b)^{n}$

Se desenvolve da forma:

$(a+b)^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{i,n}a^{n-i}.b^{i}$

no nosso caso então:

$(x+2y)^{19}=\sum_{i=0}^{19}C_{i,19}x^{19-i}.(2y)^{i}$

E como queremos x elevado a 4 e y elevado a 15, então queremos somente um termo desta somatória, que é com i=15:

$(x+2y)^{19}=\sum_{i=0}^{19}C_{i,19}x^{19-i}.(2y)^{i}$

$C_{15,19}x^{19-15}.(2y)^{15}$

$C_{15,19}x^{4}.2^{15}y^{15}$

$\frac{19!}{4!15!}.2^{15}.x^{4}.y^{15}$

$\frac{19!}{4!15!}.2^{15}.x^{4}.y^{15}$

Assim o coeficiente deste monomio é:

$\frac{19!}{4!15!}.2^{15}$

Pode-se abrir e fazer esta conta, porém é um número muito grande que é mais comodo deixar desta forma.