Question

O coeficiente de x8 no desenvolvimento de (3/x+x3)8 é?

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentso sobre Binômio de Newton, concluímos que o coeficiente do termo  $x^8$  no desenvolvimento de  $(3/x+x^3)^8$  é  5670 .

☛     Binômio de Newton:

$\large\boxed{( p+q)^{n} =\sum _{r=0}^{n}\binom{n}{r} \cdotp p^{n-r} \cdotp q^{r}}$

➜     Na sua questão, temos  $p=3/x=3x^{-1}$ ,  $q=x^3$  e  $n=8$ . Assim, inserindo os dados na fórmula do Binômio de Newton:

$\displaystyle\left( 3x^{-1} +x^{3}\right)^{8} =\sum _{r=0}^{8}\binom{8}{r} \cdotp \left( 3x^{-1}\right)^{8-r} \cdotp \left( x^{3}\right)^{r}$

➜     Use a propriedade  $( ab)^{c} =a^{c} b^{c}$  no termo  $(3x^{-1})^{8-r}$

$\displaystyle\left( 3x^{-1} +x^{3}\right)^{8} =\sum _{r=0}^{8}\binom{8}{r} \cdotp 3^{8-r} \cdot \left(x^{-1}\right)^{8-r} \cdotp \left( x^{3}\right)^{r}$

➜     Use a propriedade  $\left( a^{m}\right)^{n} =a^{mn}$  nos termos  $\left(x^{-1}\right)^{8-r}$  e  $\left( x^{3}\right)^{r}$

$\displaystyle\left( 3x^{-1} +x^{3}\right)^{8} =\sum _{r=0}^{8}\binom{8}{r} \cdotp 3^{8-r} \cdotp x^{r-8} \cdotp x^{3r}$

➜     Use a propriedade  $a^{m} +a^{n} =a^{m+n}$  nos termos  $x^{r-8}$  e  $x^{3r}$

$\displaystyle\left( 3x^{-1} +x^{3}\right)^{8} =\sum _{r=0}^{8}\binom{8}{r} \cdotp 3^{8-r} \cdotp x^{4r-8}$

➜     Agora, para  $x^{4r-8}=x^8$ , temos  $r=4$ . E para  $r=4$ , obtemos

$\begin{array}{l}\binom{8}{4} \cdotp 3^{8-4} \cdotp x^{4\cdotp 4-8} =\dfrac{8\cdotp 7\cdotp 6\cdotp 5\cdotp \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdotp 4\cdotp 3\cdotp 2\cdotp 1} \cdotp 3^{4} \cdotp x^{8}\\\\=70\cdotp 3^{4} x^{8}\\\\=5670x^{8}\end{array}$

∴     O coeficiente do termo  $x^8$  no desenvolvimento de  $(3/x+x^3)^8$  é  5670   ✍️

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