O coeficiente de x³ no polinômio p(x) = (x-1)(x+3)^5 é:
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T(p+1) = Cn,p * a^(n-p) *b^(p)
tomando p=3, e sabendo que n=5; substituindo, fica:
T4=C5,3*X^(5-3)*3³ = 10*27*X²=270X²
Fazendo mesma análise para p=2, fica:
T3=C5,2*X³*3²=10*9*X³=90X³
Fazendo a expansão polinomial, fica:
P(x)= a0*x^(0)+a1*x+a2*x²+a3*x³+.......+an*x^(n).
Logo, conclui-se que:
P(X)=(x-1)*(X+3)^(5)
P(X)=(x-1)*(...+a1*x+270X²+90X³+....), quando multiplicamos (x-1) por tudo isso, fica:
P(X)= (......+270X³-90X³+....) = 180X³
Lembre-se que a expansão de (x+3)^(5)=X^(5)+15x^(4)+90x³+270x²+405x+243. Sendo que nessa questão específica, o que me interessou de fato foi apenas os que estão em negrito, pois foi isso que a questão pediu para fazer, que foi determinar os coeficiente de x³. se observar o T3 ----> está relacionado ao terceiro termo da expansão, e T4----> está relacionado ao quarto termo da expansão. Só para ficar mais claro! Sabendo que n=0,1,2,3,4 e 5.
tomando p=3, e sabendo que n=5; substituindo, fica:
T4=C5,3*X^(5-3)*3³ = 10*27*X²=270X²
Fazendo mesma análise para p=2, fica:
T3=C5,2*X³*3²=10*9*X³=90X³
Fazendo a expansão polinomial, fica:
P(x)= a0*x^(0)+a1*x+a2*x²+a3*x³+.......+an*x^(n).
Logo, conclui-se que:
P(X)=(x-1)*(X+3)^(5)
P(X)=(x-1)*(...+a1*x+270X²+90X³+....), quando multiplicamos (x-1) por tudo isso, fica:
P(X)= (......+270X³-90X³+....) = 180X³
Lembre-se que a expansão de (x+3)^(5)=X^(5)+15x^(4)+90x³+270x²+405x+243. Sendo que nessa questão específica, o que me interessou de fato foi apenas os que estão em negrito, pois foi isso que a questão pediu para fazer, que foi determinar os coeficiente de x³. se observar o T3 ----> está relacionado ao terceiro termo da expansão, e T4----> está relacionado ao quarto termo da expansão. Só para ficar mais claro! Sabendo que n=0,1,2,3,4 e 5.
Minusz:
Só uma dúvida, por que a analise com p=2?
Isso foi proposital, para formar o polinômio com X³, pois, sabia que quando multiplicasse por (x-1), iria formar o polinômio que a questão desejaria. Lembre-se dessa propriedade: (a+b)*(a-b)=a²-b² , aí como tinha (x-1), eu precisaria multiplicar por algo assim...(.....+270X²+90X³+....), aí esse X² se transformaria em X³ , e o outro X³ ficaria X³, sendo que negativo, porque iria multiplicar por (-1).
Beleza, valeu
É meio complicado te explicar por aqui, pq essa questão é um pouco complexa.
Mais espero que tenha entendido...abraço!
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