Question

O coeficiente de x^18 no desenvolvimento de (x^2-2x^3)^8 é:
(preciso da resolução passo a passo por gentileza)
a)-112
b)112
c)-224
d)224
e)-168​

Answer 1

Temos o seguinte binômio:

$\boxed{ \sf (x {}^{2} - 2x {}^{3} ) {}^{8} }$

Vamos usar o termo geral do binômio, pois é bem eficaz para questões que perguntam apenas um termo em específico do binômio, esse termo geral é dado por:

$\boxed{\sf T_{p + 1} = \binom{n}{p} .C_{n,p}.a {}^{n - p} .b {}^{p} }$

• "a" representa o primeiro termo do binômio, ou seja, x²;

• Assim como o "a" representa o primeiro termo, o "b" representa o segundo termo, ou seja, (-2x³)

• "n" representa o expoente do binômio (8).

• "p" representa genericamente a posição.

Sabendo disso vamos fazer algumas manipulações nesse binômio, pois temos x em dois lugares, então temos que fixar apenas um termo (x).

Substituindo no termo geral:

$\sf T_{p + 1} = \binom{8}{p} .(x {}^{2} ) {}^{8 - p} .( - 2x {}^{3} ) {}^{p} \\ \\ \sf T_{p + 1} = \binom{8}{p} .(x ) {}^{2.8 - 2.p} . - 2 {}^{p} .(x) {}^{3p} \\ \\ \sf T_{p + 1} = \binom{8}{p} .(x) {}^{16 - 2p} .- 2 {}^{p} .(x) {}^{3p} \\ \\ \sf T_{p + 1} = \binom{8}{p} .(x) {}^{16 - 2p + 3p} . - 2{}^{p} \\ \\ \sf T_{p + 1} = \binom{8}{p} .( {x})^{16 + p} .- 2 {}^{p}$

A questão quer saber o basicamente o termo x¹⁸, para isso vamos pegar aquela expressão formada no expoente e igualar a 18, já esse deve ser o expoente dele:

$\sf 16 + p = 18 \\ \sf p = 18 - 16 \\ \boxed{ \sf p = 2}$

Agora é só substituir o valor de "p" e ser feliz:

$\sf T_{2 + 1} = \binom{8}{2} .(x) {}^{16 + 2} .( - 2) {}^{2} \\ \\ \sf T_{3} = \binom{8}{2} .x {}^{18} .( 4) \\ \\ \sf T_{3} = \binom{8}{2} .x {}^{18} .( 4) \\ \\ \sf T_{3} = \frac{8!}{2!(8 - 2)!} .x {}^{18} .( 4) \\ \\ \sf T_{3} = \frac{8.7. \cancel{6 !}}{2! \cancel{6!}} .x {}^{18} .( 4) \\ \\ \sf T_{3} = \frac{8.7}{2.1} .x {}^{18} .(4) \\ \\ \sf T_{3} = \frac{56}{2} .x {}^{18} .( 4) \\ \\ \sf T_{3} = 28.x {}^{18} .( 4) \\ \\ \boxed{ \sf T_{3} = 112x {}^{18} }$

Espero ter ajudado