Question

O coeficiente angular da reta y=mx+n, tangente à curva de equação

41x2+18xy+41y2=800

no ponto (a,b) é dada por



Escolha uma:
-(41a+9b) / (9a + 41b)
(800-41a-9b) / (9a + 41b)
-(41a+ 9ab+9b) / (41b)
-(41a) / (9a + 41b)
-(41a+50b) / (9a)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$41x {}^{2} + 18xy + 41y {}^{2} = 800$

Para encontrar o coeficiente angular da reta tangente a essa curva será obtido através da derivação implicita da mesma. Como sabemos, vamos fazer dy/dx, ou seja, y = y(x) (y é uma função de "x"), logo quando derivarmos a função "y", devemos multiplicar pela derivada da mesma (a famosa regra da cadeia).

$\frac{d}{dx} 41x {}^{2} + \frac{d}{dx}18xy + \frac{d}{dx} 41y {}^{2} = \frac{d}{dx} 800$

Ali na multiplicação de x e y é necessário usar a regra do produto, portanto:

$2.41x {}^{2 - 1} + 18 \left( . \frac{d}{dx} x.y + x \frac{d}{dx} y \right) + 2.41y. \frac{dy}{dx} = 0 \\ \\ 82x + 18y + 18x. \frac{dy}{dx} + 82y. \frac{dy}{dx} = 0$

Isolando o elementos com dy/dx:

$18x. \frac{dy}{dx} + 82y. \frac{dy}{dx} = - 82x - 18y \\ \\ \frac{dy}{dx} .(18 x+ 82y) = - 82x - 18y \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{ - 82x - 18y}{18x + 82y}$

Fazendo algumas fatorações:

$\frac{dy}{dx} = \frac{2.( - 41x - 9y)}{2.(9x + 41y)} \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{ - 41x - 9y}{9x + 41y}$

A questão fala que o ponto em que essa reta tangente passa é (a, b), ou seja, x = a e y = b. Substituindo esses dados nessa relação acima:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac {- 41a - 9b}{9a + 41b} }}}}$

Espero que entenda