Question

O cliente de uma loja comprou um eletrodoméstico em 24 prestações mensais de R$ 210,00, mas fez uma nova proposta para a loja, substituindo o financiamento para 12 prestações bimestrais. Qual será o valor da nova prestação se a taxa de juros for de 2% a.m.?

A) R$ 422,20


B) R$ 423,20


C) R$ 424,20


D) R$ 425,20


E) R$ 426,20


PS. Não consigo de forma alguma chegar em uma das respostas.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Emerson, que, como informamos antes, a questão é trabalhosa, porém mais ou menos simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas. 

i) Tem-se que um cliente de uma loja comprou um eletrodoméstico em 24 prestações mensais de R$ 210,00 cada uma. Porém, ele fez uma nova proposta que seria pagar o financiamento em apenas 12 prestações bimestrais. Com base nisso, pede-se para informar qual será o novo valor dessas 12 prestações bimestrais, considerando uma taxa de juros composta de 2% ao mês (ou 0,02 ao mês, pois 2% = 2/100 = 0,02).

ii) Antes de mais nada preste atenção na fórmula de encontramos o valor da PMT (que é o valor fixo das prestações): 

PMT = VA*CF, em que PMT é o valor de cada uma das prestações mensais (no caso específico da primeira proposta o valor de cada prestação era de R$ 210,00); VA é o valor atual e é o que vamos encontrar para que, depois, possamos utilizá-lo para encontrar a nova PMT com 12 prestações bimestrais; e, finalmente CF é o coeficiente de financiamento, cuja fórmula é que veremos logo abaixo (ainda encontrando-o na proposta anterior para que possamos encontrar o valor atual "VA" do eletrodoméstico):

CF = i/[1 - 1/(1+i)ⁿ] ----- substituindo-se "i" por 2% (ou 0,02) e "n" por 24 meses, pois ainda estamos trabalhando com o CF da primeira proposta para encontrar o valor atual (VA), teremos:

CF = 0,02/[1 - 1/(1+0,02)²⁴] ----- desenvolvendo, temos:
CF = 0,02/[1 - 1/(1,02)²⁴] ---- como (1,02)²⁴ = 1,608437 (aproximadamente), teremos:

CF = 0,02/[1 - 1/1,608437] ---- como 1/1,608437 = 0,621722 (aproximadamente), teremos: 

CF = 0,02/[1 - 0,621722]
CF = 0,02/[0,3782780] --- ou apenas: 
CF = 0,02/0,378278 --- finalmente, efetuando esta divisão, temos (aproximadamente):

CF = 0,0528712 <--- Este é o valor do CF na primeira proposta.


iii) Agora vamos encontrar o valor atual (VA) desse eletrodoméstico. Assim, aplicando a fórmula da PMT, teremos:

PMT = VA*CF ---- substituindo-se PMT por "210" e substituindo-se CF pelo seu valor encontrado logo acima, teremos: 

210 = VA*0,0528712 ----- Vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:
VA*0,0528712 = 210 ---- isolando VA temos: 
VA = 210/0,0528712 --- note que esta divisão dá "3.971,91" (bem aproximado). Logo: 

VA = 3.971,91 <--- Este era o valor atual do eletrodoméstico. Ou seja, era o seu valor à vista. 

iv) Agora, sim, é que vamos entrar na segunda proposta do cliente, que seria pagar o eletrodoméstico em apenas 12 prestações fixas e bimestrais. Em outras palavras, a capitalização das prestações deixou de ser mensal pra ser bimestral. E evidentemente que não vamos mais trabalhar com a taxa de 2% ao mês (ou 0,02 ao mês). Mas vamos trabalhar com uma taxa bimestral equivalente a 2% ao mês. E, em juros compostos, para encontrarmos isso, basta que elevemos (1+0,02) ao quadrado, pois um bimestre tem dois meses. Assim, a taxa bimestral será esta:

1 + I = (1+i)² em que que "I" é a taxa do maior período (no caso do bimestre) e "i" é a taxa do menor período (no caso do mês e que já sabemos que é 2% ou 0,02 ao mês). Assim, substituindo-se, teremos:

1+I = (1+0,02)² 
1+I = (1,02)² ---- note que (1,02)² = 1,0404. Logo:
1+I = 1,0404 ---- passando "1" para o 2º membro, temos:
I = 1,0404 - 1 
I = 0,0404 (esta será a taxa bimestral equivalente a uma taxa mensal de 2% ao mês. Ou seja, a taxa bimestral e equivalente a 2% ao mês é de 4,04% ao bimestre).

v) Agora vamos encontrar o novo coeficiente de financiamento (CF) para a taxa bimestral acima e valendo apenas para 12 bimestres. Assim, aplicando a fórmula teremos note que 4,04% = 4,4/100 = 0,0404):

CF = 0,0404/[1 - 1/(1+0,0404)¹²]
CF = 0,0404/[1 - 1/(1,0404)¹²] ----- desenvolvendo, temos:
CF = 0,0404/[1 - 1/1,608437] ---- continuando o desenvolvimento, temos: 
CF = 0,0404/[1 - 0,621722] ---- ainda continuando, temos:
CF = 0,0404/[0,378278] ---- veja que esta divisão dá o valor aproximado de:
CF = 0,106800 <---- Este é o novo coeficiente de financiamento para a segunda proposta do cliente. 

vi) Agora vamos aplicar a fórmula da PMT pra encontrarmos qual será o valor de cada uma das 12 prestações fixas e bimestrais. Aplicando a fórmula teremos:

PMT = VA*CF ---- substituindo-se VA por "3.971,91" e substituindo-se CF pelo valor que acabamos de encontrar (0,106800), teremos:

PMT = 3.971,91*0,106800 ---- note que este produto dá "424,20". Logo, teremos que a nova PMT será:

PMT = 424,20 <--- Esta é a resposta. Opção "c". Ou seja, este é o valor de cada uma das 12 prestações bimestrais.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.