O círculo de centro C e raio 2 tem diâmetro AB. O círculo de centro D é tangente, em A, internamente, ao primeiro círculo. Um círculo de centro E é tangente internamente ao de centro C, externamente ao de centro D e tangente à reta AB. O raio do segundo círculo é o triplo do raio do terceiro. Determine-o. a) b) c) d) e)
Soluções para a tarefa
Resposta:
Olhe a imagem
DE²=EF²+DF²
(4r)²=r²+DF² ==>DF=r√15
DF/DE=DG/DH
r√15/4r=DG/5r ==>DG=5r√15/4
HG/DG=EF/DF
HG/(5r√15/4)=r/(r√15) ==>HG=5r/4
Relações métricas triângulo retângulo h²=m*n
Triângulo AHB
h=GH=5/4
m=3r+DG=3r+5r√15/4
n=GB=AB-m=4-(3r+5r√15/4)
(5r/4)²=(3r+5r√15/4)*(4-(3r+5r√15/4))
r=0 ou r=320√15/1249 -618/1249 ~ 0,4974817
como queremos 3r = 1,492445 é a resposta
Para o entendimento desta resolução, dê uma olhada na imagem anexada. Suporemos inicialmente que λ₁ seja a tal circunferência de centro C, com diâmetro AB e raio medindo 2. Já a outra circunferência (de raio 3r) centrada em D e tangente internamente a λ₁ em A, será designada λ₂. A terceira e última circunferência (de raio r) tem centro em E, é tangente internamente a λ₁, externamente a λ₂ e à reta suporte do diâmetro de λ₁, e será chamada λ₃. Como vimos, λ₁ e λ₂ são tangentes internas; logo, a distância x entre seus centros é dada por:
Do mesmo modo, o enunciado nos informa que λ₁ e λ₃ também são tangentes internas. Sendo assim, a distância y entre seus centros vale:
Pelo fato de λ₂ e λ₃ serem tangentes externas, temos que a distância z entre seus centros é expressa por:
Agora, note que o ângulo agudo FDE = θ é tal que:
Aplicando a Relação Trigonométrica Fundamental, dada por cos²θ = 1 – sen²θ, e usando 0° < θ < 90°, obteremos:
Repare ainda que os três lados do triângulo CDE são exatamente os três segmentos de reta que ligam cada um dos centros aos demais, e cujas respectivas medidas (já conhecidas) são os valores x, y e z. Em seguida, aplicando a Lei dos Cossenos relativa ao lado CE do triângulo CDE, obtém-se a seguinte equação na incógnita r:
Por fim, segue a resolução da equação acima e também o valor de 3r:
Resposta: letra d).