Question

O cíclotron é um acelerador em que partículas carregadas executam movimento circular em um plano perpendicular a um campo magnético uniforme de módulo B. Se o campo magnético for o único campo aplicado, a velocidade angular do movimento circular resultante depende somente da razão carga/massa e de B. Em um acelerador típico, o valor de B é de 1 tesla e as partículas percorrem uma trajetória de raio de 50 cm. Qual a ordem de grandeza da velocidade da partícula (dados: carga igual a 〖1,6.10〗^(−19) C e massa igual 〖1,67.10〗^(−27) kg)?

Answer 1

Olá!

Na situação descrita, o único campo atuante é o magnético. Portanto, considerando-o constante, a força magnética é a força centrípeta do movimento circular uniforme. Assim:

$F_{mag}=F_{cp}\\\\ |q|vB\sin(\theta)=m\cdot \dfrac{v^2}{r}$

Como o campo magnético é perpendicular ao movimento circular, temos que $\theta=90^o$. Então:

$|q|vB\sin(90^o)=m\cdot \dfrac{v^2}{r}\\\\ |q|vB\cdot 1=m\cdot \dfrac{v^2}{r}\\\\ |q|vB=m\cdot \dfrac{v^2}{r}\\\\ |q|B=m\cdot \dfrac{v}{r}\\\\ v=\dfrac{|q|Br}{m}$

Num movimento circular, a velocidade angular $\omega$ atende à seguinte equação: $v=\omega r$. Substituindo acima, chegamos a:

$\omega r=\dfrac{|q|Br}{m}\\\\ \omega=\dfrac{|q|B}{m}$

Desse modo, encontramos a velocidade angular dependente apenas do módulo do campo magnético e da razão carga/massa, que vai de acordo com o que o enunciado fala.

No acelerador citado:

$\bullet~B=1~T\\\\ \bullet~r=50 ~cm=0,5~m\\\\ \bullet q=1,6\times10^{-19}~C\\\\ \bullet m=1,67\times10^{-27}~kg$

Substituindo:

$\omega=\dfrac{|q|B}{m}\\\\ \omega=\dfrac{|1,6\times10^{-19}|\cdot 1}{1,67\times10^{27}}\\\\ \omega=\dfrac{1,6\times10^{-19}}{1,67\times10^{-27}}\\\\ \omega\approx0,95808\times10^{8}\\\\ \omega\approx9,5808\times10^{7}~rad/s$

Então a velocidade será dada por:

$v=\omega \cdot r\\\\ v\approx9,5808\times10^{7}\cdot 0,5\\\\ \boxed{v\approx4,79\times10^7~m/s}$

Como $4,79\ \textgreater \ \sqrt{10}$, a ordem de grandeza (OG) é a potência de 10 com o expoente acrescido de 1: $OG=10^{7+1}\Longrightarrow \boxed{OG=10^8}$