Question

O chapéu do bruxo mostrado na figura tem a forma de um cone de revolução de 12 cm de altura e 100π cm³ de volume. Se ele é feito de cartolina, quanto desse material foi usado para fazer sua superfície lateral? *

Imagem sem legenda


a) 202,3 cm²
b) 205,8 cm²
c) 207 cm²
d) 204,1 cm²​

Answer 1

Para confeccionar o chapéu, foi utilizado 204,1 cm² de material. Assim, a alternativa correta é a letra d).

Em um cone de revolução, temos que o seu volume é calculado através da fórmula $V = \frac{1}{3}*\pi *h*r$, onde h é sua altura e r é o raio da sua base. Temos, também, que em um cone de revolução, sua área lateral é calculada pela fórmula $\pi *r*g$, onde r é o mesmo raio da base, e g é a geratriz, que é o comprimento da base do cone até o seu vértice.

Assim, para descobrirmos a área, temos que descobrir seu raio.

Substituindo o volume de $100\pi$ e a altura h de 12 na fórmula, obtemos:

$100\pi = \frac{1}{3}*\pi *12* r^2\\300\pi = 12*\pi *r^2\\\frac{300\pi}{12\pi} = r^2\\25 = r^2\\r = \sqrt{25} = 5$

Com isso, seu raio é 5 cm.

Podemos encontrar a geratriz do cone fazendo uma relação com o teorema de Pitágoras, que diz que a soma dos quadrados dos catetos em um triângulo retângulo equivale à sua hipotenusa ao quadrado. Temos que os catetos são o raio da base e a altura do cone, e a geratriz é a hipotenusa (abaixo temos o esquema dessa relação na imagem).

Assim, temos:

$12^2 + 5^2 = g^2\\169 = g^2\\\sqrt{169} = g\\g = 13$

Obtemos, então, que a geratriz do cone possui 13 cm.

Podemos, então, substituir o raio e a geratriz do cone na fórmula $\pi *r*g$ para encontrarmos a sua área lateral. Ficamos então com $\pi *5*13 = 65\pi$. Utilizando $\pi = 3,14$, obtemos que sua área lateral é de 204,1 cm², tornando a alternativa d) a correta.

Para aprender mais sobre o cone, acesse https://brainly.com.br/tarefa/40476860