Question

O centro de uma hipérbole é o ponto (4,-3), seu eixo real é 2a = 6 e o eixo imaginário é 2b = 4. Determine a equação dessa hipérbole e seus focos F¹ e F² ,sabendo ainda que é paralelo ao eixo x.

Answer 1

$\displaystyle \sf \underline{\text{Equa{\c c}{\~a}o da Hip{\'e}rbole}}: \\\\ \frac{(x-x_o)^2}{a^2}-\frac{(y-y_o)^2}{b^2}=1 \\\\ \underline{onde}} : \\ x_o,y_o = Coordenadas\ do \ centro \\ a = semi\ eixo \ real\\ b = semi\ eixo \ imagin{\'a}rio \\\\\\ \underline{\text{Equa{\c c}{\~a}o Fundamental }}: \\\\ c^2=a^2+b^2\\\ onde: \\ c = semi\ dist{\^a}ncia\ focal \\\\ \underline{Focos}: \\\\ F_1(x_o-c\ ,\ y_o) \ ; \ F_2(x_o+c\ ,\ y_o)$

Temos as informações da Hipérbole :

$\displaystyle \sf Centro(4,-3)\\\\ 2a = 6 \to a = 3 \\ 2b=4 \to b =2 \\\\ c = \sqrt{a^2+b^2} \to c=\pm\sqrt{3^2+2^2} \to c= \pm\sqrt{13} \\\\\\ \underline{Eqa{\c c}{\~a}o \ da \ Hip{\'e}rbole}: \\\\ \frac{(x-4)^2}{3^2}-\frac{(y-(-3))^2}{2^2} = 1 \\\\\\ \boxed{\sf \frac{(x-4)^2}{9}-\frac{(y+3)^2}{4}=1}$

$\underline{\sf Focos}}: \\\\ \boxed{\begin{array}{I}\sf F_1 = (4-\sqrt{13} \ , -3 ) \\\\ \sf F_2 = (4+\sqrt{3} \ , \ -3) \end{array}} \checkmark$