Question

O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB,sendo A(4,-7),B(-8,-3).SE O RAIO DESSA CIRCUNFERÊNCIA é 3,DETERMINE A SUA EQUAÇÃO

Answer 1

Ponto Médio = $\frac{(xA+xB)}{2}; \frac{(yA+yB)}{2}$
$( \frac{4-8}{2}; \frac{-7-3}{2})$
Ponto Médio = Centro da circunferência
C(-2,-5)
Equação da circunferência: (ΔX)²+(ΔY)²=R²
Equação da circunferência: (x-xC)²+(y-yC)²=R²
Equação da circunferência: (x+2)²+(y+5)=3²

Answer 2

A equação reduzida dessa circunferência é (x + 2)² + (y + 5)² = 9.

Anexei uma figura no final desta resolução, para facilitar o entendimento.

O ponto médio de um segmento de reta será a media das coordenadas dos extremos desse segmento. EM outras palavras, O (centro da circunferência) será a média entre A e B. Vamos calcular suas coordenadas:

$O = (\frac{x_A + x_B}{2} , \frac{y_A + y_B}{2} ) = (\frac{4 - 8}{2} , \frac{-7 - 3}{2} ) = (\frac{-4}{2} , \frac{-10}{2} )\\\\O = (-2, -5)$

Logo o centro da nossa circunferência está em O(-2, -5). Sabemos também que o raio r da nossa circunferência é:

r = 3

A equação reduzida de uma circunferência é dada pela fórmula:

$(x - x_o)^2 + (y - y_o)^2 = r^2$

Substituindo os nossos valores nessa fórmula, teremos:

$[x - (-2)]^2 + [y - (-5)]^2 = 3^2\\\\(x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$

Se formos desenvolvendo os termos do lado esquerdo dessa equação vamos chegar na equação geral dessa circunferência:

$(x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 9\\\\x^2 + 4x + 4 + y^2 + 10y + 25 = 9\\\\x^2 + y^2 + 4x + 10y + 4 + 25 - 9 = 0\\\\x^2 + y^2 + 4x + 10y + 20 = 0$

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