Question

O centro de massa de um objeto é um local especial no interior de qualquer corpo rígido. Ele se move como se toda a massa e todas as forças externas aplicadas sobre ele estivessem concentradas em um único ponto e para calculá-lo a função densidade se faz necessária.O centro de massa da placa de densidade d, dada por d(x,y)=1 , que pode ser representada pela função M = integral dupla de 2 a -2 e integral de 4 a x² dx dy.Escolha uma:a. (0,-32/3)b. (0,0)c. (128/5 ,0)d. (0, 32/3)e. (0, 12/5)Alguem sabe resolver?

Answer 1

Olá!

Acredito que a integral certa é: $\int\limits^2_{-2} \int\limits^4_{x^{2}} \, dydx$

Bom, para calcularmos o centro de massa, precisamos calcular primeiro a massa:

M = $\int\limits^2_{-2} \int\limits^4_{x^{2}} \, dydx = \int\limits^2_{-2} {4-x^{2}} \, dx = 4x - \frac{x^{3}}{3}$

Aplicando os limites, temos que: 

M = $(4.2 - \frac{2^{3}}{3}) - (4.(-2) - \frac{(-2)^{3}}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de massa. Como d(x,y)=1, temos que:

x' = $\int\limits^2_{-2} \int\limits^4_{x^{2}} {x.1} \, dydx = \int\limits^2_{-2} {x(4-x^{2})} \, dx = \int\limits^2_{-2} {4x-x^{3}} \, dx =2x^{2} - \frac{x^{4}}{4}$

Aplicando os limites, podemos observar que x' = 0

Dividindo x' por M encontramos que a primeira coordenada do centro de massa é 0.

Agora vamos calcular y':

y' = $\int\limits^2_{-2} \int\limits^4_{x^{2}} {y.1} \, dydx = \int\limits^2_{-2} { \frac{y^{2}}{2} } \, dx$

Aplicando os limites 4 e $x^{2}$ temos que: 

$\int\limits^2_{-2} {8- \frac{x^{4}}{2} } \, dx = 8x - \frac{x^{5}}{10}$

Aplicando os limites 2 e -2 encontramos que y' = $\frac {128}{5}$

Dividindo y' por M: $\frac {128}{5}$ . $\frac {3}{32}$ = $\frac {12}{5}$.

Portanto, o centro de massa é (0, $\frac {12}{5}$) . Letra e).

Answer 2

Resposta:

Alternativa E: (0, 12/5).

Explicação passo-a-passo:

Esta questão está relacionada com integral dupla. As integrais duplas podem ser aplicadas em diversas áreas: densidade, volume, momento de inércia.

Nesse caso, deve ser calculado o centro de massa de um objeto. Para isso, devemos calcular inicialmente o momento em relação a cada eixo:

$Mx=\int \int {y \rho (x,y)} \, dA \\ \\ \\My=\int \int {x \rho (x,y)} \, dA$

onde a massa m é dada pela seguinte expressão:

$m=\int \int {\rho (x,y)} \, dA$

Por fim, as coordenadas do centro de massa são calculadas através da razão entre os momentos em relação aos eixos e a massa.

$\=x =\frac{My}{m} \\ \\ \\ \=y =\frac{Mx}{m}$

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