Question

O cartão de crédito S cobra juros mensais e cumulativos de 17%. Em quanto tempo uma dívida não paga de R$ 1,00 neste cartão se transforma em um débito de R$ 1.000.000,00? Indique o valor mais próximo do obtido. Dado: use a aproximação 10^6, 1,17^88.

Answer 1

Se a questão diz que são juros cumulativos então eles são compostos.

A fórmula que calcula juros compostos é essa aqui:

$\displaystyle M=C \cdot (1+i)^t$

Nela, M = montante, C = capital inicial, i = taxa decimal e t = tempo.

A questão quer saber o tempo necessário para que a quantia inicial de R$ 1,00 aplicada a taxa de 17% resulte num montante de 10⁶.

Então vou reescrever a fórmula e isolar o valor de *t* para encontrá-lo:

$\displaystyle (1+t)^t=\frac{M}{C}$

Nessa parte, eu posso aplicar logaritmo em ambos os lados:

$\displaystyle \log{(1+t)^t}=\log{\frac{M}{C}}$

Agora eu vou usar essa propriedade:

$\log_c{(a\cdot b)}=\log_ca+\log_{c}b$

Com ela eu posso isolar *t*,

$\displaystyle t \cdot \log{(1+t)}=\log{\frac{M}{C}}$

$\displaystyle t=\frac{1}{\log{(1+t)}} \cdot \log{\frac{M}{C}}$

Agora eu vou substituir as variáveis pelos valores da questão,

$\displaystyle t= \frac{1}{\log{(1+0{,}17)}} \cdot \log{\frac{10^6}{1}}$

$\displaystyle t=\frac{1}{\log{(1{,}17)}} \cdot \log{10^6}$

$\displaystyle t=\frac{\log{10^6}}{\log{(1{,}17)}}$

Já que 10^6 ≈ 1,17^88,

$\displaystyle t=\frac{\log{1{,}17^{88}}}{\log{(1{,}17)}}$

Agora vou usar essa outra propriedade:

$\log_{c}{a^b}=b\cdot\log_{c}{a}$

Com ela, posso fazer isso:

$\displaystyle t=88 \cdot \frac{\log{1{,}17}}{\log{(1{,}17)}}$

$\displaystyle t=88 \text{ meses}$

Para encontrar o valor em anos, basta dividir 88 por 12.

88 : 12 = quociente 7 e resto 4.

Portanto a resposta é 7 anos e 4 meses.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Diegocapixaba, que a resolução parece mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que um cartão de crédito "S" cobra juros de 17% ao mês, no regime de juros compostos, pois juros cumulativos são compostos. Em quanto tempo uma dívida de R$ 1,00 se transforma em R$ 1.000.000,00 nesse cartão?

ii) Veja: vamos aplicar a fórmula de montante em juros compostos, que é dada da seguinte forma:

M = C*(1+i)ⁿ, em que "M" é o montante, "C" é o capital, "i" é a taxa de juros e "n" é o tempo. Observe que já temos os seguintes dados para substituir na fórmula acima:

M = 1.000.000

C = 1

i = 0,17 ao mês ----- (note que 17% = 17/100 = 0,17).

n = n ------ (é o que vamos encontrar).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula acima, teremos:

1.000.000 = 1*(1+0,17)ⁿ ----- ou apenas:

1.000.000 = (1,17)ⁿ ----- vamos apenas inverter, ficando assim:

(1,17)ⁿ = 1.000.000 ------ note que 1.000.000 = 10⁶ . Assim, ficaremos com:

(1,17)ⁿ = 10⁶ ------ como já foi dado que se considerasse que 10⁶ = 1,17⁸⁸ , e como, conforme vimos aí em cima, já "chegamos" nessa igualdade, então o tempo "n" será igual a 88 meses. Logo, teremos que:

n = 88 meses ------- agora vamos transformar "88 meses" em anos. Para isso, basta que dividamos "88" por "12". Fazendo isso, teremos:

n = 88/12 ----- note que esta divisão dá a dízima periódica "7,333.....". Logo:

n = 7,333..... anos ----- mas note que 7,333.... anos significa 7 anos + 0,333..... do ano (=12 meses). E veja que a dízima "0,333....." é equivalente à sua equação geratriz de "1/3" (lembre-se que : 1/3 = 0,333....). Assim, teremos que 1/3 do ano será:

(1/3)*12 = 12/3 = 4 meses.

Assim, teremos que:

7,333.... anos = 7 anos e 4 meses <---- Esta é a resposta. Ou seja, o tempo em que R$ 1,00 se transforma em R$ 1.000.000,00, conforme o regime de juros desse cartão de crédito, será em 7 anos e 4 meses.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.